第98页

信息发布者：
C
A
C
$4-2\sqrt{2}$
$2\sqrt{5}$
解：连接OC，设$\odot O$的半径为R。
$\because$ M是CD的中点，$\therefore CM=MD=\frac{1}{2}CD=2。$
由垂径定理，得$EM⊥ CD。$
在$\mathrm{Rt}△ OCM$中，$OM=6-R，$$OC^2=CM^2+OM^2，$即$R^2=2^2+(6-R)^2，$
解得$R=\frac{10}{3}。$
$\therefore \odot O$的半径为$\frac{10}{3}。$
B
【分析】
要判断命题真假，需结合圆的垂径定理及其推论，明确定理的前提条件，逐个分析选项：
1. 回忆垂径定理相关性质：圆心在弦的垂直平分线上；弦的垂直平分线垂直于弦；垂直于弦的直径平分弦；平分弦（非直径）的直径垂直于弦。
2. 对每个选项逐一验证：A选项符合弦的垂直平分线性质，B选项符合弦中点与弧中点连线的垂直平分线性质，C选项缺少“被平分的弦不是直径”的前提，D选项是垂径定理的直接内容。需重点注意C选项的特殊情况（弦为直径时，两条直径互相平分但不一定垂直），避免遗漏前提导致判断错误。
【解析】
根据圆的垂径定理及其推论逐一判断：
选项A：弦的垂直平分线必经过圆心，符合圆的基本性质，是真命题；
选项B：弦的中点与弦所对弧的中点的连线是弦的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，该连线垂直于弦，是真命题；
选项C：“平分弦的直径垂直于弦”的前提是被平分的弦不是直径，若被平分的弦是直径，任意两条直径互相平分但不一定垂直，该命题缺少必要前提，是假命题；
选项D：垂直于弦的直径必平分该弦，符合垂径定理，是真命题。
综上，假命题为C，故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的垂径定理及其推论
【点评】
本题考查圆的垂径定理及其推论，属于易错题，易错点在于忽略“平分弦的直径垂直于弦”中被平分的弦不能为直径这一关键前提，解题时需准确把握定理的适用条件，避免因遗漏特殊情况而出错。
【难度系数】
0.5
【分析】要解决这个问题，需结合垂径定理和勾股定理：首先利用垂径定理求出弦AB的一半长度，再连接半径OA，构造直角三角形OAN，通过勾股定理计算ON的长度。
【解析】连接OA，因为ON⊥AB，根据垂径定理（垂直于弦的直径平分弦），可得AN = $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×24 = 12$。已知⊙O的半径OA=13，在Rt△OAN中，由勾股定理得：$ON = \sqrt{OA^2 - AN^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$。
【答案】A
【知识点】垂径定理、勾股定理
【点评】本题考查垂径定理与勾股定理的基础应用，解题思路直接，计算简单，属于圆章节的基础题型。
【难度系数】0.7
【分析】
要解决这道题，需利用圆的相关性质逐步推导：首先由OF⊥BC结合直角三角形性质求出∠B的度数；再根据圆周角定理得到弧AC对应的圆心角∠AOC；最后利用垂径定理，结合AB垂直CD时弧AC与弧AD的关系，求出∠AOD的度数。
【解析】
1. 因为OF⊥BC，所以△BOF是直角三角形，∠OFB=90°。已知∠BOF=65°，根据直角三角形两锐角互余，得：
∠B = 90° - ∠BOF = 90° - 65° = 25°。
2. 在⊙O中，∠B是圆周角，所对的弧为弧AC。根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此：
∠AOC = 2∠B = 2×25° = 50°。
3. 因为AB是⊙O的直径，且CD⊥AB，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的弧，故弧AC与弧AD关于AB对称，对应圆心角相等，即：
∠AOD = ∠AOC = 50°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理、垂径定理
【点评】
本题综合考查圆的核心性质，解题关键是熟练运用垂径定理和圆周角定理进行角度转换，属于基础几何题，侧重定理的应用能力。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决该问题，需结合圆的垂径定理与勾股定理：首先利用垂径定理确定圆心与弦中点的连线垂直于弦，构造直角三角形求出圆心到弦的距离；再根据弧中点的性质，确定圆心、弦中点、弧中点共线，最终计算两点间距离。具体思路：1. 连接圆心与弦中点，利用垂径定理得到垂直关系，求出弦长的一半；2. 在直角三角形中用勾股定理计算圆心到弦中点的距离；3. 结合半径与上述距离，求出弦中点到劣弧中点的距离。
【解析】
解：连接OA、OM，
∵ M是弦AB的中点，⊙O的圆心为O，
∴ 根据垂径定理，OM⊥AB，且$AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAM$中，OA是⊙O的半径，OA=4 cm，
由勾股定理得：$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 - 8} = 2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
∵ N是弦AB所对劣弧的中点，
∴ ON是⊙O的半径，ON=4 cm，且O、M、N三点共线（垂径定理推论：弧中点与弦中点的连线过圆心），
∴ 弦AB的中点M到劣弧中点N的距离$MN = ON - OM = 4 - 2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$(4 - 2\sqrt{2})$
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆章节的基础题型，核心考查垂径定理的应用，结合勾股定理即可求解，步骤清晰，需熟练掌握垂径定理的性质。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决本题，需结合垂径定理和三角形中位线定理分析：首先根据垂径定理确定M、N分别是AB、AC的中点，再利用三角形中位线定理得出MN与BC的数量关系，进而计算BC的长度。
步骤：1. 由OM⊥AB、ON⊥AC，依据垂径定理得M为AB中点，N为AC中点；2. 判定MN是△ABC的中位线；3. 根据中位线定理，MN是BC的一半，代入MN的值即可求出BC。
【解析】
∵ OM⊥AB，ON⊥AC，在⊙O中，根据垂径定理：垂直于弦的半径平分弦，
∴ AM = MB，AN = NC，即M是AB的中点，N是AC的中点，
∴ MN是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边长度的一半，
∴ MN = $\frac{1}{2}$BC，
已知MN = $\sqrt{5}$，
∴ BC = 2MN = 2×$\sqrt{5}$ = $2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是基础题型，将垂径定理与三角形中位线定理结合考查，核心是利用垂径定理找到弦的中点，再通过中位线的性质建立线段关系，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
【分析】
要计算$\odot O$的半径，首先利用垂径定理得到$EM ⊥ CD$，构造出直角三角形；再设半径为$R$，用$R$表示出直角三角形的各边长度，结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连接$OC$，设$\odot O$的半径为$R$。
因为$M$是弦$CD$的中点，$CD=4$，所以$CM=\frac{1}{2}CD=2$。
根据垂径定理：过圆心且平分弦的直线垂直于弦，可得$EM ⊥ CD$，即$△ OCM$是直角三角形。
又因为$OE=R$，$EM=6$，所以$OM=EM - OE=6 - R$。
在$\mathrm{Rt}△ OCM$中，由勾股定理得：$OC^2 = CM^2 + OM^2$，即$R^2 = 2^2 + (6 - R)^2$。
展开方程右边：$R^2 = 4 + 36 - 12R + R^2$，两边消去$R^2$后整理得：$12R=40$，解得$R=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\frac{10}{3}$
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的半径
【点评】
本题是圆中求半径的典型基础题，核心是利用垂径定理构造直角三角形，将圆的问题转化为直角三角形的边长计算，结合勾股定理建立方程求解，需熟练掌握垂径定理的应用。
【难度系数】
0.6
【分析】
本题需结合等腰三角形和圆的性质，先确定圆心位置的两种情况（在三角形内部或外部），再通过勾股定理计算相关线段长度，最终求出腰长。核心思路：等腰三角形外接圆圆心在底边的高线上，分圆心在三角形内部、外部两类讨论，避免漏解。
【解析】
已知等腰△ABC内接于⊙O，圆心O在底边BC的高线上（等腰三角形三线合一），过O作OD⊥BC于D，则OD=3cm，⊙O半径OB=7cm。
在Rt△ODB中，由勾股定理得：
BD=√(OB² - OD²)=√(7² - 3²)=√40=2√10 cm，故BC=2BD=4√10 cm。
情况1：圆心O在△ABC内部
此时A到BC的距离AD=AO + OD=7+3=10 cm，在Rt△ADB中：
AB=√(AD² + BD²)=√(10² + (2√10)²)=√140=2√35 cm。
情况2：圆心O在△ABC外部
此时A到BC的距离AD=AO - OD=7-3=4 cm，在Rt△ADB中：
AB=√(AD² + BD²)=√(4² + (2√10)²)=√56=2√14 cm。
综上，腰AB的长为2√35 cm或2√14 cm，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，圆的性质，勾股定理
【点评】
本题为易错题，关键在于需分类讨论圆心在三角形内部或外部的情况，学生易忽略圆心在外部的情形导致漏解，需注意等腰三角形外接圆圆心的位置与三角形类型的关系。
【难度系数】
0.5
上一页 下一页