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C
D
$2\sqrt{3}$
证明：连接$OC。$
在$\odot O$中，$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}，$
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOC。$
$\because OA = OB，$$D，$$E$分别是半径$OA$和$OB$的中点，
$\therefore OD = OE。$
在$△ COD$和$△ COE$中，
$\begin{cases} OD = OE, \\ ∠ DOC = ∠ EOC, \\ OC = OC, \end{cases}$
$\therefore △ COD ≌ △ COE，$
$\therefore CD = CE。$

证明：连接$AC，$$BD。$
$\because C，$$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
$\therefore AC = CD = BD，$且$∠ AOC = \frac{1}{3}×90° = 30°。$
$\because OA = OC，$
$\therefore ∠ OAC = ∠ OCA = 75°。$
$\because ∠ AOB = 90°，$$OA = OB，$
$\therefore ∠ OAE = ∠ OBF = 45°。$
$\therefore ∠ AEC = ∠ OAE + ∠ AOC = 45° + 30° = 75°，$
$\therefore ∠ AEC = ∠ ACE，$
$\therefore AE = AC。$
同理，可证$BF = BD，$
$\therefore AE = BF = CD。$

解：
(1) $\because OA ⊥ OC，$
$\therefore ∠ AOC = 90°。$
$\because \overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}，$
$\therefore ∠ AOD = 2∠ COD，$
$\therefore ∠ COD = \frac{1}{3}∠ AOC = 30°。$
(2) 由
(1)知$∠ AOD = 2∠ COD = 2×30° = 60°，$
$\because OA = OD，$
$\therefore △ AOD$为等边三角形，
$\therefore AD = OA = 4。$
(3) 过点$D$作$DE ⊥ OC，$交$\odot O$于点$E，$连接$AE，$交$OC$于点$P，$连接$DP，$$OE，$此时$AP+PD$的值最小。
根据圆的对称性，易得$E$是点$D$关于$OC$的对称点，$OC$是$DE$的垂直平分线，
$\therefore PD = PE，$
$\therefore AP + PD = AP + PE = AE。$
由
(1)知$∠ COD = 30°，$
$\therefore ∠ COE = ∠ COD = 30°，$
$\therefore ∠ DOE = 60°。$
$\because ∠ AOD = 60°，$
$\therefore ∠ DOE = ∠ AOD。$
$\because AO = EO，$
$\therefore OB ⊥ AE，$$AB = BE。$
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$\because ∠ AOB = 60°，$
$\therefore ∠ OAB = 30°。$
$\because OA = 4，$
$\therefore OB = \frac{1}{2}OA = 2，$
$\therefore AB = \sqrt{OA^2 - OB^2} = 2\sqrt{3}，$
$\therefore BE = AB = 2\sqrt{3}，$
$\therefore AE = AB + BE = 4\sqrt{3}，$
即$AP+PD$的最小值为$4\sqrt{3}。$

【分析】
要解决本题，需结合圆的垂径定理、直角三角形的边角关系推导。设⊙O的半径为r，利用DE⊥AB的垂径定理表示DE的长度，再根据D是弧AC中点得到角的等量关系，结合直角三角形的余弦值建立方程，求解半径后得到直径。
【解析】
设⊙O的半径为r，则直径为2r，OA=OD=r。
已知AE=3，因此OE = OA - AE = r - 3。
因为DE⊥AB，在Rt△ODE中，由勾股定理得：
$DE^2 = OD^2 - OE^2 = r^2 - (r - 3)^2 = 6r - 9$。
由于D是$\widehat{AC}$的中点，根据垂径定理，OD⊥AC，故AC的中点G满足$AG = \frac{AC}{2} = 6$，在Rt△OAG中，$\cos∠ OAG = \frac{AG}{OA} = \frac{6}{r}$。
又因为∠OAG与∠ODE都与∠AOD互余，所以∠OAG=∠ODE，因此$\cos∠ OAG = \cos∠ ODE$。
在Rt△ODE中，$\cos∠ ODE = \frac{DE}{OD} = \frac{\sqrt{6r - 9}}{r}$。
由此可得方程：$\frac{6}{r} = \frac{\sqrt{6r - 9}}{r}$，两边同乘r得：$6 = \sqrt{6r - 9}$，
两边平方得：$36 = 6r - 9$，解得$6r = 45$，即$r = 7.5$，
因此⊙O的直径为$2r = 15$。
【答案】
15
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题综合考查圆的核心性质，关键是利用弧中点的性质得到角的等量关系，结合直角三角形的边角关系建立方程求解，需熟练掌握垂径定理的应用。
【难度系数】
0.5
【分析】要判断弦AB与2AC的关系，需利用同圆中弧与弦的对应关系，结合三角形三边定理推导。首先取弧AB的中点，将弧AB分为两段相等的弧，结合已知条件可得到这两段弧与弧AC相等，进而得到对应弦相等；再通过三角形三边关系，即可得出AB与2AC的大小关系。
【解析】取$\overset{\frown}{AB}$的中点$D$，连接$AD$、$BD$。
因为$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，且$D$为$\overset{\frown}{AB}$中点，所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{AC}$。
根据“同圆中，相等的弧所对的弦相等”，可得$AD=DB=AC$。
在$△ ADB$中，由三角形三边关系（两边之和大于第三边），得$AD + DB ＞ AB$。
将$AD=DB=AC$代入，得$AC + AC ＞ AB$，即$2AC ＞ AB$，也就是$AB ＜ 2AC$。
【答案】D
【知识点】弧弦圆心角关系、三角形三边关系
【点评】本题为易错题，学生易错误认为弧长为2倍时弦长也为2倍，忽略了弦长与弧长并非线性关系，需通过构造辅助弧的中点，结合三角形三边关系推导，考查对圆的弧弦性质及三角形定理的综合应用。
【难度系数】0.4
【分析】要计算四边形ACBO的面积，首先利用“C是弧AB的中点”的性质，得出对应的圆心角∠AOC和∠BOC的度数；再结合圆的半径相等，判断△AOC和△BOC为等边三角形；最后通过计算两个等边三角形的面积之和，得到四边形的面积。
【解析】
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}×120°=60°$。
又
∵OA=OC=OB=⊙O的半径=2，
∴△AOC和△BOC都是等边三角形。
等边三角形的面积公式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（a为边长），则$S_{△ AOC}=S_{△ BOC}=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$。
∴四边形ACBO的面积$S=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】$2\sqrt{3}$
【知识点】圆心角与弧的关系，等边三角形面积
【点评】本题是圆的性质的基础应用，利用弧中点转化圆心角，结合等边三角形的性质求面积，属于教材变式题，考查学生对圆的基本性质和等边三角形面积计算的掌握，难度适中。
【难度系数】0.6
【分析】要证明$CD=CE$，可通过证明两条线段所在的三角形全等。首先，根据圆的性质“等弧所对的圆心角相等”，由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$可推出$∠ AOC=∠ BOC$；再结合$OA$、$OB$是圆的半径，长度相等，且$D$、$E$分别是$OA$、$OB$的中点，能得到$OD=OE$；最后利用公共边$OC$，通过SAS判定$△ COD$和$△ COE$全等，根据全等三角形对应边相等，即可得出$CD=CE$。
【解析】证明：连接$OC$。
$\because$在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$，
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC$（等弧所对的圆心角相等）。
$\because OA$、$OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore OA=OB$。
$\because D$，$E$分别是半径$OA$和$OB$的中点，
$\therefore OD=\frac{1}{2}OA$，$OE=\frac{1}{2}OB$，
$\therefore OD=OE$。
在$△ COD$和$△ COE$中，
$\{\begin{array}{l} OD=OE, \\ ∠ DOC=∠ EOC, \\ OC=OC, \end{array} $
$\therefore △ COD≌△ COE$（SAS）。
$\therefore CD=CE$。
【答案】$CD=CE$
【知识点】等弧与圆心角，全等三角形判定
【点评】本题是圆与全等三角形结合的基础证明题，核心考查等弧对等圆心角的性质及全等三角形的SAS判定，思路直接，是对圆和全等基础知识点的巩固应用，难度较低。
【难度系数】0.7
【分析】要证明$AE=BF=CD$，首先利用弧与弦的对应关系，连接辅助线$AC$、$BD$，由$C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点可得弦$AC=CD=BD$；再通过计算角度，结合等腰三角形的性质和三角形外角定理，证明$AE=AC$、$BF=BD$，即可推导得出结论。
【解析】连接$AC$、$BD$。
∵ $C$，$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴ $AC=CD=BD$，且$∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{1}{3}×90°=30°$。
∵ $OA=OC$，
∴ $△ OAC$为等腰三角形，$∠ OAC=∠ OCA=\frac{180°-30°}{2}=75°$。
∵ $∠ AOB=90°$，$OA=OB$，
∴ $△ OAB$为等腰直角三角形，$∠ OAB=∠ OBA=45°$。
∵ $∠ AEC$是$△ AOE$的外角，
∴ $∠ AEC=∠ OAB + ∠ AOC=45°+30°=75°$，
∴ $∠ AEC=∠ ACE$，
∴ $AE=AC$。
同理，可证$BF=BD$。
又
∵ $AC=CD=BD$，
∴ $AE=BF=CD$。
【答案】$AE=BF=CD$
【知识点】圆的弧弦关系，等腰三角形性质，三角形外角定理
【点评】本题结合圆的基本性质与三角形的相关定理，通过辅助线构造和角度推导完成证明，考查学生对几何知识的综合运用能力，是典型的中等难度几何证明题。
【难度系数】0.5
【分析】
1. 第(1)问：由OA⊥OC得∠AOC=90°，根据同圆中弧与圆心角的对应关系（弧的度数等于所对圆心角的度数），结合$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$，可知∠AOD=2∠COD，再利用∠AOC=∠AOD+∠COD，即可求出∠COD的度数。
2. 第(2)问：由第(1)问结果算出∠AOD=60°，结合OA=OD（圆的半径相等），根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，判定△AOD为等边三角形，从而得到AD=OA=4。
3. 第(3)问：求AP+PD的最小值，采用对称转化法：作点D关于OC的对称点E，根据圆的对称性，PD=PE，故AP+PD=AP+PE，当A、P、E共线时，和最小，即为AE的长度；再结合圆心角的关系，求出∠AOE相关角度，利用等腰三角形性质与勾股定理计算AE的长。
【解析】
(1)
∵ OA⊥OC，
∴ ∠AOC=90°。
∵ 同圆中，弧所对的圆心角的度数等于弧的度数，且$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$，
∴ ∠AOD=2∠COD。
又
∵ ∠AOC=∠AOD+∠COD=90°，
∴ 2∠COD + ∠COD=90°，解得∠COD=30°。
(2) 由(1)知，∠AOD=2∠COD=2×30°=60°。
∵ OA=OD（⊙O的半径），
∴ △AOD是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ AD=OA=4。
(3) 如图，作点D关于OC的对称点E，连接AE，交OC于点P，连接PD、OE。
根据圆的对称性，OC是DE的垂直平分线，
∴ PD=PE，
∴ AP+PD=AP+PE=AE，此时AP+PD的值最小。
由(1)知∠COD=30°，
∴ ∠COE=∠COD=30°，
∴ ∠DOE=∠COD+∠COE=60°。
∵ ∠AOD=60°，
∴ ∠DOE=∠AOD。
又
∵ AO=EO，
∴ OB⊥AE，AB=BE（等腰三角形三线合一）。
在Rt△AOB中，∠AOB=60°，
∴ ∠OAB=30°。
∵ OA=4，
∴ OB=$\frac{1}{2}$OA=2，
∴ AB=$\sqrt{OA^2 - OB^2}$=$\sqrt{4^2 - 2^2}$=2$\sqrt{3}$，
∴ BE=AB=2$\sqrt{3}$，
∴ AE=AB+BE=4$\sqrt{3}$，即AP+PD的最小值为4$\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 30°；(2) 4；(3) 4$\sqrt{3}$
【知识点】
圆心角与弧的关系、等边三角形的判定与性质、最短路径问题
【点评】
本题综合考查圆的基本性质、三角形的判定与性质以及最短路径的对称转化思想，解题关键是利用弧与圆心角的对应关系求角度，通过对称转化线段和求最小值，逻辑清晰，难度适中，能较好考查学生的几何应用能力。
【难度系数】
0.5
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