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D
A
C
$45°$或$135°$
$37°$
解：连接OC。
$\because ∠ ABC=19°，$
$\therefore ∠ AOC=2×19°=38°。$
$\because OA⊥ OB，$即$∠ AOB=90°，$
$\therefore ∠ BOC=90° - 38°=52°，$
$\therefore ∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×52°=26°。$
A
【分析】要解决本题，需利用圆周角定理得到相等的圆周角，再结合直径所对圆周角为直角的性质，通过直角三角形的角度关系计算目标角的度数。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，∠CDB与∠CAB都是弧CB所对的圆周角，因此∠CAB=∠CDB=51°。
2. 因为AB是⊙O的直径，依据“直径所对的圆周角是直角”，可得∠ACB=90°。
3. 在Rt△ACB中，直角三角形两锐角互余，所以∠CBA=90°−∠CAB=90°−51°=39°。
【答案】D
【知识点】圆周角定理、直径的性质
【点评】本题是圆的基础题型，核心考查圆周角定理和直径的性质，解题思路清晰，属于常规基础题，难度较低。
【难度系数】0.7
【分析】
要解决本题，需结合垂径定理、圆周角定理及直角三角形的三角函数知识。首先，由OA⊥BC，根据垂径定理可知BC被OA垂直平分，即BC=2EC；再利用圆周角定理，由∠ADC=30°求出对应的圆心角∠AOC=60°；最后设⊙O的半径为r，在Rt△OEC中通过三角函数关系求出r，进而算出EC，得到BC的长度。
【解析】
1. 因为OA⊥BC，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，所以BE=EC，即BC=2EC，且弧AC=弧AB。
2. 已知∠ADC=30°，∠ADC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠AOC=2×30°=60°。
3. 设⊙O的半径为r，则OA=OC=r，又AE=√3，所以OE=OA - AE=r - √3。
4. 在Rt△OEC中，∠OEC=90°，∠COE=60°，根据余弦的定义：cos∠COE=邻边/斜边=OE/OC，代入得：
cos60°=(r - √3)/r，
因为cos60°=1/2，所以：
1/2=(r - √3)/r，
两边同乘2r得：r=2(r - √3)，
展开得：r=2r - 2√3，
解得r=2√3。
5. 再根据正弦的定义：sin∠COE=对边/斜边=EC/OC，代入得：
sin60°=EC/r，
因为sin60°=√3/2，r=2√3，所以：
EC= r×sin60°=2√3×(√3/2)=3。
6. 因为BC=2EC，所以BC=2×3=6。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，解直角三角形
【点评】
本题综合考查圆的相关性质与直角三角形的应用，解题关键是利用垂径定理得到线段关系，结合圆周角定理求出圆心角，再通过三角函数计算半径与线段长度，属于中等难度的圆相关计算题。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决本题，首先根据垂径定理，由AB是直径且平分非直径弦CD，得出AB垂直于CD；接着利用直角三角形两锐角互余求出∠A的度数；最后依据同弧所对的圆周角相等，得到∠D与∠A相等，从而算出∠D的度数。
【解析】
解：设AB与CD交于点E。
∵AB是⊙O的直径，且AB平分弦CD（CD不是直径），
∴根据垂径定理，AB⊥CD，即∠AEC=90°。
在Rt△ACE中，∠C=50°，
∴∠A=90°−∠C=90°−50°=40°。
又
∵∠A和∠D都是弧BC所对的圆周角，
∴根据圆周角定理，∠D=∠A=40°。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；圆周角定理
【点评】
本题结合垂径定理和圆周角定理进行求解，关键是先利用垂径定理得到垂直关系，再结合直角三角形性质和圆周角的性质推导角度，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决本题，首先需利用圆的直径确定半径，通过弦长结合勾股定理逆定理求出圆心角的度数；关键在于明确一条弦所对的圆周角有两个，分别位于优弧和劣弧上，需分情况讨论，避免漏解。
【解析】
1. 连接OC，已知⊙O的直径AB=2，因此半径OA=OC=1。
2. 在△OAC中，OA=1，OC=1，AC=√2，计算得OA² + OC² = 1² + 1² = 2，AC²=(√2)²=2，故OA² + OC² = AC²，根据勾股定理的逆定理，△OAC为直角三角形，且∠AOC=90°。
3. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此弧AC所对的优弧上的圆周角为$\frac{1}{2}∠AOC = 45°$。
4. 由于圆内接四边形的对角互补，弧AC所对的劣弧上的圆周角为$180° - 45° = 135°$。
综上，弦AC所对的圆周角的度数为45°或135°。
【答案】
45°或135°
【知识点】
圆周角定理；圆的弦的性质
【点评】
本题为易错题，考查圆周角定理的应用，易错点是忽略一条弦对应两个不同位置的圆周角，导致漏解，解题时需全面考虑，分情况讨论。
【难度系数】
0.5
【分析】
解题思路：1. 由AB是$\odot O$的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，可得到直角三角形；2. 结合已知$AC=AD$和公共边AB，利用HL证明两个直角三角形全等，得到对应角相等；3. 最后在直角三角形中，利用两锐角互余计算出$∠ B$的度数。
【解析】
解：$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore$根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，得$∠ ADB=90°$。
又$\because AC=AD$，$AB=AB$，
$\therefore$在$Rt△ ACB$和$Rt△ ADB$中，$\begin{cases}AC=AD \\ AB=AB\end{cases}$，
$\therefore Rt△ ACB ≌ Rt△ ADB$（HL），
$\therefore ∠ DAB=∠ CAB=53°$。
在$Rt△ ADB$中，$∠ ADB=90°$，
$\therefore ∠ B=90° - ∠ DAB=90° -53°=37°$。
【答案】
$37°$
【知识点】
圆周角定理，直角三角形全等判定，直角三角形性质
【点评】
本题结合圆周角定理、直角三角形全等性质和直角三角形锐角关系求解，核心是利用直径的性质构造直角三角形，难度适中，需掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决这个问题，需利用圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），通过连接辅助线OC，逐步推导圆心角的度数，进而求出目标角∠BAC。首先，根据已知的∠ABC求出对应弧AC的圆心角∠AOC；再结合OA⊥OB得到的∠AOB=90°，算出弧BC对应的圆心角∠BOC；最后利用圆周角定理求出∠BAC。
【解析】
连接OC。
1. 由圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，因此∠AOC = 2∠ABC = 2×19° = 38°。
2. 已知OA⊥OB，故∠AOB = 90°，则∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 90° - 38° = 52°。
3. 再次根据圆周角定理，∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，因此∠BAC = ½∠BOC = ½×52° = 26°。
【答案】
26°
【知识点】
圆周角定理、圆的圆心角与圆周角关系
【点评】
本题核心考查圆周角定理的应用，关键在于正确添加辅助线OC，明确各角与对应弧的关系，步骤清晰，属于圆的基础角度计算题型，需熟练掌握圆周角定理的内容。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决本题，需结合圆的性质与三角形的性质逐步推导：首先利用圆心角和等腰三角形性质求出∠OAC的度数，再根据直径所对圆周角为直角得到∠ACB=90°，进而算出∠ABC；最后利用等腰三角形的性质和三角形外角的关系，求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵ OA=OC（圆的半径相等），∠AOC=108°，
∴ △OAC为等腰三角形，∠OAC = (180° - ∠AOC)÷2 = (180° - 108°)÷2 = 36°。
又
∵ AB是圆的直径，根据圆周角定理：直径所对的圆周角为直角，
∴ ∠ACB = 90°。
在Rt△ACB中，∠ABC = 90° - ∠OAC = 90° - 36° = 54°。
∵ BD=BC，
∴ △BCD是等腰三角形，∠D = ∠BCD。
根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∠ABC是△BCD的外角，故∠ABC = ∠D + ∠BCD = 2∠D，
因此∠D = ∠ABC÷2 = 54°÷2 = 27°。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题综合考查圆与三角形的基础性质，关键在于利用直径的圆周角特性求出∠ABC，再结合等腰三角形和外角关系计算∠D，需熟练掌握相关几何定理，难度适中。
【难度系数】
0.5
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