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$-\frac{1}{4}$
3或-1
解：​$(2) $​由题意得​$∆=(2m-3)^2-4(\mathrm {m^2}-4m-5)=4m+29$​。
​$ $​因为​$m $​为整数，且​$4＜m＜15$​，
所以​$45＜4m+29＜89$​。
​$ $​因为​$4m+29$​为完全平方数，
所以​$4m+29=49$​或​$64$​或​$81$​，
​$ $​解得​$m=5$​或​$m=\frac {35}{4}($​不合题意，舍去​$)$​或​$m=13$​。
​$ $​当​$m=5$​时，原方程为​$x^2-7x=0$​，
所以​$Q(1，-7，0)=-\frac {49}{4}$​；
​$ $​当​$m=13$​时，原方程为​$x^2-23x+112=0$​，
所以​$Q(1，-23，112)=-\frac {81}{4}$​。
综上，该方程的​$“$​关爱码​$”$​为​$-\frac {49}{4}$​或​$-\frac {81}{4}$​。
​$ (3) $​由题意得​$Q(1，1-m，m+4)=\frac {-\mathrm {m^2}+6m+15}{4}$​，
​$ Q(1，n-1，-n)=-\frac {n^2+2n+1}{4}$​。
​$ $​因为该方程是​$x^2+(n-1)x-n=0$​的​$“$​全整根伴侣方程​$”$​，
所以​$Q(1，1-m，m+4)-Q(1，n-1，-n)=m+4$​，
​$ $​即​$\frac {-\mathrm {m^2}+6m+15}{4}+\frac {n^2+2n+1}{4}=m+4$​，
​$ $​整理得​$\mathrm {m^2}-n^2-2m-2n=0$​，
​$ $​因式分解得​$(m+n)(m-n)-2(m+n)=0$​，
即​$(m+n)(m-n-2)=0$​。
​$ $​因为​$m，n$​均为正整数，
所以​$m+n≠0$​，
因此​$m-n-2=0$​，
即​$m-n=2$​。
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