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第32页

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解：因为不论$x$取何值，总有$x^2=|x|^2$，

所以原方程可化为$|x|^2 - |x| - 2 = 0$，即$(|x|-2)(|x|+1)=0$。

$ $因为$|x|+1≠0$，

所以$|x|-2=0$，即$|x|=2$，

解得$x=\pm 2$。

$ $故原方程的解是$x_1=2$，$x_2=-2$。

解：因为$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2+x-4=0$的两个实数根，

所以$x_1+x_2=-1，$且$x_1^2+x_1-4=0，$$x_2^2+x_2-4=0，$

即$x_1^2=4-x_1，$$x_2^2=4-x_2。$

代入代数式得：

$ \begin{aligned} x_1^3 -5x_2^2 +10&=x_1(4-x_1)-5(4-x_2)+10\\ &=4x_1 -x_1^2 -20 +5x_2 +10\\ &=4x_1 -(4-x_1)+5x_2 -10\\ &=5(x_1+x_2)-14\\ &=5×(-1)-14\\ &=-19 \end{aligned} $

所以代数式的值为$-19。$

解：将四个方程$x^2+ax+1=0，$$x^2+bx+c=0，$$x^2+x+a=0，$$x^2+cx+b=0$依次编号为①②③④。

设$x_1$是方程①②的一个相同的实数根，则：

$\begin{cases} x_1^2 +ax_1 +1=0\\ x_1^2 +bx_1 +c=0 \end{cases}$

两式相减得$(a-b)x_1 +1 -c=0，$

因为$a≠ b，$

所以$x_1=\frac{c-1}{a-b}。$

设$x_2$是方程③④的一个相同的实数根，则：

$\begin{cases} x_2^2 +x_2 +a=0\\ x_2^2 +cx_2 +b=0 \end{cases}$

两式相减得$(1-c)x_2 +a -b=0，$

所以$x_2=\frac{a-b}{c-1}，$因此$x_1x_2=1。$

因为方程①的两根之积等于1，

所以$x_2$也是方程①的根，即$x_2^2 +ax_2 +1=0。$

又因为$x_2^2 +x_2 +a=0，$两式相减得$(a-1)x_2 = a-1。$

若$a=1，$则方程①无实数根，不合题意，因此$a≠1，$得$x_2=1。$

将$x_2=1$代入$x_2^2 +x_2 +a=0，$得$1+1+a=0，$解得$a=-2。$

将$x_2=1$代入$x_2^2 +cx_2 +b=0，$得$1+c+b=0，$即$b+c=-1。$

又已知$a-b+c=3，$把$a=-2$代入得$-2 -b +c=3，$即$c-b=5。$

联立$\begin{cases}b+c=-1\\c-b=5\end{cases}，$解得$b=-3，$$c=2。$

综上，$a=-2，$$b=-3，$$c=2。$

解：由$(x-1)(x^2-2x+m)=0，$得$x=1$或$x^2-2x+m=0。$

设$α,β$是方程$x^2-2x+m=0$的两个实数根，

该方程有两个实数根，故判别式$∆=(-2)^2-4m≥0，$解得$m≤1。$

由一元二次方程根与系数的关系，得$α+β=2，$$αβ=m。$

由题意，三根可以作为三角形的三边长，需满足三角形三边关系，因此$|α-β|＜1，$

两边平方得$(α-β)^2＜1，$变形为$(α+β)^2 -4αβ ＜1，$代入$α+β=2，$$αβ=m$得：

$4-4m＜1$

解得$m＞\frac{3}{4}。$

综上，实数$m$的取值范围为$\frac{3}{4}＜m≤1。$

解：$(1) $因为关于$x$的一元二次方程$(1+\frac {k}{2})x^2+(k+2)x-1=0$有两个相等的实数根，

$ $所以二次项系数$1+\frac {k}{2}≠0$，且判别式$∆=(k+2)^2 -4×(1+\frac {k}{2})×(-1)=0$，

$ $展开整理得$k^2+6k+8=0$，

解得$k=-2$或$k=-4$，

结合$1+\frac {k}{2}≠0$即$k≠-2$，得$k=-4$。

$ (2) $因为方程$(1+\frac {k}{2})x^2+(k+2)x-1=0$和$x^2+(2k+1)x-2k-3=0$有一个公共根$a$，

所以：$(1+\frac {k}{2})a^2 + (k+2)a -1 =0 \quad ①$

$ a^2 + (2k+1)a -2k -3 =0 \quad ②$

$ $将$①$式两边乘以$2$，再与②式相加，整理得：

$ (k+3)a^2 + (4k+5)a -2k -5 =0$

$ $合并含$k$的项得：

$ (a^2 +4a -2)k + 3a^2 +5a =5$

代入所求代数式：

$ (2a^2+8a-4)k +6a^2 +10a=2(a^2+4a-2)k +6a^2+10a=2[(a^2+4a-2)k +3a^2+5a]=2×5=10$

$ $所以该代数式的值为$10$。