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解：​$ (1) $​把点​$D(4，1)$​代入​$y=\frac {k}{x}$​，得​$1=\frac {k}{4}$​，
解得​$k=4$​，
​$ $​所以反比例函数的表达式为​$y=\frac {4}{x}(x＞0)$​。
​$ $​因为四边形​$OABC$​是矩形，​$D$​为​$AB$​的中点，
所以​$B(4，2)$​，
​$ $​所以点​$E$​的纵坐标为​$2$​。
在​$y=\frac {4}{x}$​中，令​$y=2$​，得​$2=\frac {4}{x}$​，解得​$x=2$​，
​$ $​所以点​$E$​的坐标为​$(2，2)$​。
​$ (2) $​把点​$D(4，1)$​代入​$y=x+m$​，
得​$4+m=1$​，解得​$m=-3$​；
​$ $​把点​$E(2，2)$​代入​$y=x+m$​，
得​$2+m=2$​，解得​$m=0$​。
结合题图可知，​$m $​的取值范围为​$-3≤ m≤0$​。
​$ D$​
$3≤ k≤12$
增大
上
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$(0,1)$
解：​$(2)$​因为​$x_1+x_2=0$​，
所以​$x_1=-x_2$​。
​$ $​又​$A$​，​$B$​两点都在函数​$y=\frac {x-2}{x}$​的图象上，
​$ $​所以​$A(x_1，y_1)$​，​$B(x_2，y_2)$​两点关于点​$(0，1)$​
成中心对称，
​$ $​所以​$y_1+y_2=2$​，
​$ $​因此​$y_1+y_2+3=2+3=5$​。
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