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解：由反比例函数$y=(m-1)x^{|m-1|-2}$的图象经
过第一、三象限，可得
$\begin{cases} m-1＞0 \\ |m-1|-2=-1 \end{cases}$
解得$m=2。$
故该反比例函数的表达式为$y=\frac{1}{x}。$
解：​$ (1) $​点​$B$​的坐标为​$(2，4)$​，
点​$C$​的坐标为​$(6，4)$​，
点​$D$​的坐标为​$(6，6)$​。
​$ (2) $​猜想​$A，C$​两点恰好同时落在该反比例函数的
图象上。
​$ $​设矩形​$ABCD$​向下平移了​$n(n＞0)$​个单位长度。
​$ $​平移前​$A，C$​两点的坐标分别为​$(2，6)$​，​$(6，4)$​，
因此平移后​$A，C$​两点的坐标分别为​$(2，6-n)$​，
​$(6，4-n)$​。
由反比例函数性质可知两点横纵坐标乘积相等：
​$ 2(6-n)=6(4-n)$​
​$ $​解得​$n=3$​，即矩形​$ABCD$​向下平移的距离为​$3$​个
单位长度。
​$ $​代入得​$k=2×(6-3)=6$​，
因此该反比例函数的表达式为​$y=\frac {6}{x}(x＞0)$​。
C
​$ C$​
解：∵​$∠ OAB=∠ B=90°$​，
∴​$AB⊥ x$​轴，​$∠ OAB+∠ B=180°$​，
∴​$OA// BF$​。
又∵点​$A$​在​$x$​轴上，
∴​$BF⊥ y$​轴。
​$ $​延长​$BF_{交}y$​轴于点​$C$​，
则​$∠ OCF=90°$​，
∴四边形​$OABC$​是矩形，
∴​$OA=BC$​，​$AB=OC$​。
∵​$\frac {BF}{OA}=\frac {3}{4}$​，
∴设​$BF=3a$​，​$OA=4a (a＞0)$​，
∴​$BC=4a$​，​$CF=BC-BF=a$​，
∴点​$E$​的横坐标为​$4a$​，点​$F $​的横坐标为​$a$​。
∵​$E，F $​两点都在反比例函数​$y=\frac {k}{x}$​的图象上，
∴​$E(4a，\frac {k}{4a})$​，​$F(a，\frac {k}{a})$​，
∴​$AE=\frac {k}{4a}$​，​$AB=OC=\frac {k}{a}$​，
∴​$BE=AB-AE=\frac {3k}{4a}$​。
∵​$S_{△ BEF}=9$​，且​$S_{△ BEF}=\frac {1}{2}· BE· BF$​，
∴​$\frac {1}{2}· \frac {3k}{4a}· 3a=9$​，
​$ $​解得​$k=8$​。
​$ $​故该反比例函数的表达式为​$y=\frac {8}{x}(x＞0)$​。
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