第54页

信息发布者：
​$ B$​
5
证明：连接​$MD$​，​$ME$​。
​$ $​因为​$BD$​，​$CE$​是​$△ ABC$​的高，
所以​$∠ BDC=∠ BEC=90°$​。
​$ $​又​$M$​为​$BC$​的中点，
所以​$DM=EM=BM=CM=\frac {1}{2}BC$​，
​$ $​所以点​$B$​，​$C$​，​$D$​，​$E$​在以点​$M$​为圆
心的同一个圆上。
​$ B$​
$(2,3)$或$(6,3)$
证明：​$(1)$​取​$AC$​的中点为​$O$​，连接​$AD$​，​$OD$​，​$OM$​
​$ $​因为​$△ ABC$​为等边三角形，且​$D$​为​$BC$​的中点，
所以​$AD⊥ BC$​，
即​$∠ ADC=90°$​。
​$ $​又​$AM⊥ CM$​，
所以​$∠ AMC=90°$​，
​$ $​所以​$OD=OM=OA=OC=\frac {1}{2}AC$​，
​$ $​所以点​$A$​，​$D$​，​$C$​，​$M$​在同一个圆上。
​$ (2)$​连接​$OB$​。
​$ $​因为​$△ ABC$​为等边三角形，
所以​$AC=AB=2$​。
​$ $​又​$O$​为​$AC$​的中点，
所以​$OM=OA=OC=\frac {1}{2}AC=1$​，且​$OB⊥ AC$​
即​$∠ AOB=90°$​，
​$ $​所以​$OB=\sqrt {AB^2-OA^2}=\sqrt {3}$​。
由三角形三边关系得
​$OB-OM≤ BM≤ OB+OM$​，
即​$\sqrt {3}-1≤ BM≤\sqrt {3}+1$​，
​$ $​所以​$BM$​长的最大值为​$\sqrt {3}+1$​，最小值为​$\sqrt {3}-1$​
​$ A$​
​$ 2$​或​$\frac {8}{3}$​
上一页 下一页