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​$ C$​
$(3,-1)$
$\frac{25}{2}$
$\frac{4π}{3}$
解：​$ (1) △ ABC$​是等腰三角形。证明如下：
​$ $​过点​$D$​分别作​$DE⊥ AB$​于点​$E$​，​$DF⊥ AC$​于点​$F$​。
​$ $​因为​$AD$​是​$△ ABC$​的角平分线，
所以​$DE=DF$​。
​$ $​因为​$AD$​是​$△ ABC$​的中线，
所以​$BD=CD$​。
​$ $​在​$Rt△ BDE$​和​$Rt△ CDF_{中}$​，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {BD}=CD \\DE=DF \end {cases}$​
​$ $​所以​$Rt△ BDE ≌ Rt△ CDF$​，
​$ $​所以​$∠ B = ∠ C$​，即​$△ ABC$​是等腰三角形。
​$ (2) $​直线​$AD$​经过​$△ ABC$​的外接圆的圆心。
证明如下：
​$ $​因为​$△ ABC$​是等腰三角形，​$AD$​是中线，
所以​$AD⊥ BC$​，
​$ $​所以​$AD$​垂直平分​$BC$​，
因此直线​$AD$​经过​$△ ABC$​的外接圆的圆心。
​$ A$​
$(7,4)$或$(1,4)$或$(6,5)$
解：作​$△ ABC$​的外接圆​$\odot O$​，连接​$OA，OB，$​
​$OC$​，延长​$AO$​交​$\odot O$​于点​$H$​，过点​$O$​分别作
​$OE⊥ BC$​于点​$E$​，​$OF⊥ AD$​于点​$F$​，
​$ $​则​$∠ OED = ∠ OFA = ∠ OFD = 90°$​。
​$ $​因为​$AD$​是​$△ ABC$​的高，
所以​$AD⊥ BC$​，
即​$∠ EDF=90°$​，
​$ $​所以四边形​$OEDF $​是矩形，
因此​$OE=DF$​，​$OF=DE$​。
​$ $​因为​$BD=3$​，​$CD=1$​，
所以​$BC=BD+CD=4$​。
​$ $​因为​$OA=OB=OC$​，
所以​$BE=CE=\frac {1}{2}BC=2$​，
​$ ∠ OAB = ∠ OBA$​，​$∠ OAC = ∠ OCA$​，
​$ $​所以​$∠ BOH = ∠ OAB + ∠ OBA = 2∠ OAB$​，
​$ ∠ COH = ∠ OAC + ∠ OCA = 2∠ OAC$​，
​$ $​因此​$∠ BOC = ∠ BOH + ∠ COH $​
​$= 2(∠ OAB + ∠ OAC) = 2∠ BAC$​。
​$ $​因为​$∠ BAC=45°$​，
所以​$∠ BOC=90°$​。
​$ $​设​$OA=OB=OC=x$​，
则​$BC=\sqrt {OB^2 + OC^2}=\sqrt {2}x$​，
​$ $​所以​$\sqrt {2}x=4$​，
解得​$x=2\sqrt {2}$​，
即​$OA=OB=OC=2\sqrt {2}$​。
​$ $​所以​$DF=OE=\sqrt {OB^2 - BE^2}=2$​，
​$OF=DE=CE-CD=1$​，
​$ $​因此​$AF=\sqrt {OA^2 - OF^2}=\sqrt {7}$​，
​$ $​所以​$AD=AF+DF=\sqrt {7}+2$​。
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