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​$ D$​
$30°$
$15°$
$\sqrt{3}+2\sqrt{2}$
解：连接​$OA$​，过点​$O$​分别作​$OD⊥ AB$​于点​$D$​，
​$OE⊥ AC$​于点​$E$​，
​$ $​则​$∠ ODA=∠ OEA=90°$​，​$AD=\frac {1}{2}AB$​，
​$AE=\frac {1}{2}AC$​。
​$ $​因为​$AB=2\sqrt {2}$​，​$AC=2\sqrt {3}$​，
​$ $​所以​$AD=\sqrt {2}$​，​$AE=\sqrt {3}$​。
​$ $​因为​$\odot O$​的半径为​$2$​，所以​$OA=2$​，
​$ $​所以​$OD=\sqrt {OA^2-AD^2}=\sqrt {2}$​，
​$OE=\sqrt {OA^2-AE^2}=1$​，
​$ $​所以​$OD=AD$​，​$OE=\frac {1}{2}OA$​，
​$ $​所以​$∠ OAD=∠ AOD=\frac {1}{2}(180°-∠ ODA)$​
​$=45°$​，​$∠ OAE=30°$​。
分类讨论如下：
​$ ① $​当圆心​$O$​在​$∠ BAC$​内部时，
​$∠ BAC=∠ OAD+∠ OAE=75°$​，
​$ $​所以​$∠ BOC=2∠ BAC=150°$​；
​$ ② $​当圆心​$O$​在​$∠ BAC$​外部时，
​$∠ BAC=∠ OAD-∠ OAE=15°$​，
​$ $​所以​$∠ BOC=2∠ BAC=30°$​。
综上所述，​$∠ BOC$​的度数为​$150°$​或​$30°$​。

​$ D$​
$18°$
解：​$(1) $​过点​$O$​作​$OE⊥ AC$​于点​$E$​，
则​$∠ OEA=90°$​，​$AE=\frac {1}{2}AC$​。
​$ $​因为​$AC=2$​，所以​$AE=1$​。
​$ $​设​$\odot O$​的半径为​$r$​，则​$OA=r$​。
​$ $​因为翻折后点​$D$​与圆心​$O$​重合，
​$ $​所以​$OE=\frac {1}{2}r$​，
​$ $​所以​$AE=\sqrt {OA^2-OE^2}=\frac {\sqrt {3}}{2}r$​，
​$ $​所以​$\frac {\sqrt {3}}{2}r=1$​，
解得​$r=\frac {2\sqrt {3}}{3}$​。
​$ $​故​$\odot O$​的半径为​$\frac {2\sqrt {3}}{3}$​。
​$ (2) $​连接​$BC$​。
​$ $​因为​$AB$​是​$\odot O$​的直径，
​$ $​所以​$∠ AOB=180°$​，
​$ $​所以​$∠ ACB=\frac {1}{2}∠ AOB=90°$​。
​$ $​因为​$∠ BAC=25°$​，
​$ $​所以​$∠ B=90°-∠ BAC=65°$​。
由折叠的性质，得​$\overset {\frown }{AD}+\overset {\frown }{CD}=\overset {\frown }{AC}$​，
​$ $​所以​$∠ DCA+∠ BAC=∠ B$​，
​$ $​所以​$∠ DCA=∠ B-∠ BAC=40°$​。
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