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第64页

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$ B$

$ C$

$140°$

$60°$

$\sqrt{2}$

证明$：$因为四边形$ABCD $是正方形$， $

所以$ BA=BC，∠ ABC=90°， $

所以$ ∠ ABP+∠ CBP=90°. $

因为$ BE ⊥ PB， $

所以$ ∠ PBE=90°， $

所以$ ∠ ABP+∠ ABE=90°， $

所以$ ∠ ABE=∠ CBP. $

因为四边形$ ABCP $是圆的内接四边形$， $

所以$ ∠ BAP+∠ BCP=180°. $

因为$ ∠ BAP+ ∠ BAE=180°， $

所以$ ∠ BAE=∠ BCP. $

在$ △ ABE $和$△ CBP $中$， $

$\begin {cases}∠ABE=∠ CBP\\BA=BC\\∠ BAE=∠ BCP\end {cases} $

所以$ △ ABE ≌ △ CBP，$

所以$ EA=PC， BE=BP， $

所以$ PA+PC=PA+EA= PE=\sqrt {BP^2+BE^2}$

$=\sqrt {2}BE.$

$ A$

$ B$