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$2\sqrt{5}$
$8-4\sqrt{2}$
$2\sqrt{2}$
解：连接​$OC$​，交​$BF $​于点​$H.$​
​$ $​因为直线​$ED$​切​$\odot O$​于点​$C$​，
所以​$OC⊥ ED$​，
即​$∠ OCD=∠ OCE=90°.$​
​$ $​因为​$OA=OC$​，
所以​$∠ OAC=∠ OCA.$​
​$ $​因为​$AC$​平分​$∠ BAD$​，
所以​$∠ OAC=∠ DAC$​，
​$ $​所以​$∠ OCA=∠ DAC$​，
因此​$OC// AD$​，
​$ $​所以​$∠ D=∠ OCE=90°.$​
​$ $​因为​$AB$​是​$\odot O$​的直径，
所以​$∠ AFB=90°$​，
​$ $​所以​$∠ HFD=180°-∠ AFB=90°$​，
​$ $​因此四边形​$HFDC$​是矩形，
​$ $​所以​$HF=CD=4$​，​$∠ CHF=90°$​，
即​$OC⊥ BF$​，
​$ $​所以​$BF=2HF=8.$​
​$ $​因为​$AF=2$​，
所以​$AB=\sqrt {AF^2+BF^2}=2\sqrt {17}$​，
​$ $​所以​$OA=\frac {1}{2}AB=\sqrt {17}.$​
​$ $​即​$\odot O$​的半径为​$\sqrt {17}.$​
​$ C$​
$(-\frac{1}{2},1)$或$(-1,0)$或$(0,2)$
证明：​$ (1) $​因为点​$A$​与点​$C$​关于直线​$OP $​对称，
​$ $​所以​$∠ AOP=∠ COP$​，
因此​$∠ AOC=∠ AOP+∠ COP=2∠ AOP.$​
​$ $​又因为​$∠ AOC=2∠ OBC$​，
所以​$∠ AOP=∠ OBC$​，
​$ $​所以​$OP// BC.$​
​$ (2) $​连接​$CP.$​
​$ $​设​$∠ COP=∠ AOP=x°.$​
​$ $​因为​$CD$​是​$\odot O$​的切线，
所以​$OC⊥ CD$​，即​$∠ OCD=90°.$​
​$ $​因为​$∠ D=90°$​，
所以​$∠ OCD+∠ D=180°$​，
因此​$OC// AD$​，
​$ $​所以​$∠ APO=∠ COP=x°.$​
​$ $​因为​$OA=OP$​，
所以​$∠ A=∠ APO=x°.$​
​$ $​在​$△ AOP_{中}$​，​$∠ A+∠ APO+∠ AOP=180°$​，
即​$3x=180$​，
解得​$x=60$​，
​$ $​所以​$∠ COP=60°.$​
​$ $​因为​$OP=OC$​，
所以​$△ OCP $​为等边三角形，
​$ $​所以​$OC=CP$​，​$∠ OCP=60°$​，
​$ $​因此​$∠ DCP=∠ OCD-∠ OCP=30°$​，
​$ $​在​$Rt△ CDP_{中}$​，​$CP=2DP.$​
​$ $​因为​$DP=1$​，
所以​$CP=2$​，即​$OC=2$​，
​$ $​所以​$AB=2OC=4.$​
​$ $​即​$\odot O$​的直径为​$4.$​
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