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​$ B$​
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解：​$ (1) $​连接​$OC$​。
​$ $​因为​$OA=OC$​，
所以​$∠ OCA=∠ BAC$​。
​$ $​因为直线​$EF $​和​$⊙O$​相切于点​$C$​，
所以​$OC⊥ EF$​。
​$ $​因为​$AD⊥ EF$​，
所以​$OC// AD$​，
所以​$∠ OCA=∠ DAC$​，
所以​$∠ DAC=∠ BAC$​。
​$ (3) $​存在，​$∠ BAG=∠ DAC$​，理由如下：
​$ $​连接​$BC$​。
​$ $​因为​$AB$​是​$⊙O$​的直径，
所以​$∠ BCA=90°$​，
所以​$∠ BCG+∠ ACD=180°-∠ BCA=90°$​。
​$ $​因为​$AD⊥ EF$​，
所以​$∠ ADC=90°$​，
所以​$∠ DAC+∠ ACD=90°$​，
所以​$∠ BCG=∠ DAC$​。
​$ $​又因为​$∠ BCG=∠ BAG$​，
所以​$∠ BAG=∠ DAC$​。
​$ B$​
$4\sqrt{7}$
证明：​$(1) $​连接​$BO$​，延长​$AO$​交​$⊙O$​于点​$D$​。
​$ $​因为​$PA$​，​$PB$​是​$⊙O$​的切线，
所以​$PA⊥ OA$​，​$PB⊥ OB$​，
所以​$∠ OAP=∠ OBP=90°$​，
​$ $​所以​$∠ AOB+∠ P$​
​$=360°-∠ OAP-∠ OBP=180°$​。
​$ $​又​$∠ AOB+∠ BOD=180°$​，
所以​$∠ BOD=∠ P$​。
​$ $​因为​$∠ AOC=∠ P$​，
所以​$∠ AOC=∠ BOD$​，
即​$∠ COB+2∠ AOC=180°$​。
​$ $​因为​$OC=OB$​，
所以​$∠ CBO=∠ BCO$​，
所以​$∠ COB+2∠ BCO=180°$​，
​$ $​所以​$∠ AOC=∠ BCO$​，
所以​$BC// AO$​。
​$ (2) $​延长​$BC$​交​$PA$​于点​$E$​，过点​$O$​作​$OF⊥ BC$​于
点​$F$​，
则​$∠ OFC=90°$​。
​$ $​因为​$BC=10$​，​$CO=BO=AO=13$​，
所以​$BF=CF=\frac {1}{2}BC=5$​，
​$ $​所以​$FO=\sqrt {CO^2-CF^2}=12$​。
​$ $​因为​$∠ OAP=90°$​，​$BC// AO$​，
所以​$∠ AEF=180°-∠ OAP=90°$​，
​$∠ PEB=∠ OAP=90°$​，
​$ $​所以四边形​$AOFE$​是矩形，
得​$AE=FO=12$​，​$EF=AO=13$​。
​$ $​因为​$PA$​，​$PB$​是​$⊙O$​的切线，
所以​$PA=PB$​。
​$ $​设​$PA=PB=x$​，
则​$PE=PA-AE=x-12$​。
​$ $​因为​$BE=BF+EF=18$​，​$PB^2=PE^2+BE^2$​，
​$ $​所以​$x^2=(x-12)^2+18^2$​，
解得​$x=\frac {39}{2}$​，
​$ $​所以​$PA$​的长为​$\frac {39}{2}$​。
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