证明：$ (1) $如图$①$，延长$BP_{至点}E$，使$PE=PC$，
连接$EC$。
$ $因为$△ABC$是等边三角形，
所以$∠ ACB=∠ BAC=60°$，$AC=BC$。
$ $因为四边形$ABPC$内接于$⊙O$，
所以$∠ BAC+∠ BPC=180°$。
$ $又$∠ BPC+∠ CPE=180°$，
所以$∠ CPE=∠ BAC=60°$，
$ $所以$△PCE$是等边三角形，
因此$EC=PC$，$∠ PCE=60°$。
$ $因为$∠ BCE=∠ BCP+∠ PCE$，
$∠ ACP=∠ BCP+∠ ACB$，
$ $所以$∠ BCE=∠ ACP$。
$ $在$△BEC$和$△APC$中，
$ \begin {cases}\ \mathrm {EC}=PC \\∠ BCE=∠ ACP \\BC=AC \end {cases}$
$ $所以$△ BEC ≌ △ APC$，
因此$EB=PA$。
$ $又$EB=PB+PE=PB+PC$，
所以$PA=PB+PC$。
$ (2) $如图$②$，连接$OA，OB$，过点$B$作$BE⊥ PB$交
$PA$于点$E$，则$∠ PBE=90°$。
$ $因为四边形$ABCD$是正方形，
所以$BA=BC$，$∠ ABC=90°$，
$ $所以$∠ ABE+∠ CBE=90°$。
$ $又$∠ CBP+∠ CBE=∠ PBE=90°$，
所以$∠ ABE=∠ CBP$。
$ $因为$∠ AOB=\frac {1}{4}×360°=90°$，
所以$∠ APB=\frac {1}{2}∠ AOB=45°$，
$ $所以$∠ BEP=90°-∠ APB=45°$，
即$∠ APB=∠ BEP$，
因此$EB=PB$，
$ $所以$PE=\sqrt {EB^2+PB^2}=\sqrt {2}PB$。
$ $在$△ABE$和$△CBP_{中}$，
$ \begin {cases}\ \mathrm {EB}=PB \\∠ ABE=∠ CBP\\BA=BC \end {cases}$
$ $所以$△ ABE ≌ △ CBP$，
因此$EA=PC$，
$ $所以$PA=EA+PE=PC+\sqrt {2}PB$。
