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解：​$(1) $​设每条普通毛巾的售价为​$x$​元，抗菌毛巾的售价为​$y$​元。
由题意得：
​$ \begin {cases} y - x = 16 \\7x = 3y \end {cases}$​
​$ $​解得​$\begin {cases} x=12 \\y=28 \end {cases}$​
​$ $​故每条普通毛巾的售价为​$12$​元，每条抗菌毛巾的售价为​$28$​元。
​$ (2) $​设此时每条普通毛巾的售价为​$m_{元}$​。
由题意得：​$(m-8)[120 + 20(12 - m)] = 320$​
整理得：​$\mathrm {m^2} -26m +160=0$​
​$ $​解得​$m_1=10$​，​$m_2=16$​，根据薄利多销的原则，舍去​$m_2=16$​。
​$ $​故此时每条普通毛巾的售价为​$10$​元。
​$ (3) $​设每条抗菌毛巾的售价为​$n$​元。
由题意得：​$(20000 - a)n = 20×20000×(1+10\%)$​
整理得：​$a = 20000 - \frac {440000}{n}$​
​$ $​因为​$6000≤ a≤7000$​，
所以​$6000≤ 20000 - \frac {440000}{n}≤7000$​
​$ $​解得​$31\frac {3}{7}≤ n≤33\frac {11}{13}$​。
​$ $​因为​$n$​为正整数，所以​$n$​可取​$32$​、​$33$​。
​$ $​当​$n=32$​时，​$a=6250$​，符合题意；
​$ $​当​$n=33$​时，​$a=6666\frac {2}{3}$​，不符合题意，舍去。
​$ $​故每条抗菌毛巾的售价为​$32$​元。
解：​$ (1) ① $​解方程​$x^2 -4x -5=0$​，得​$x_1=5$​，​$x_2=-1$​。
​$ $​因为​$|x_1 - x_2|=6≠1$​，
所以该方程不是“差根方程”。
​$ ② $​解方程​$2x^2 -2\sqrt {3}x +1=0$​，得​$x_1=\frac {\sqrt {3}+1}{2}$​，​$x_2=\frac {\sqrt {3}-1}{2}$​。
​$ $​因为​$|x_1 - x_2|=1$​，所以该方程是“差根方程”。
​$ (2) $​解方程​$x^2 +2mx=0$​，得​$x_1=0$​，​$x_2=-2m$​。
因为该方程是“差根方程”，所以​$|x_1 - x_2|=1$​，即​$|2m|=1$​，
​$ $​解得​$m=\pm \frac {1}{2}$​。
​$ $​故​$m $​的值为​$\frac {1}{2}$​或​$-\frac {1}{2}$​。
​$ (3) $​设​$x_1，x_2$​是关于​$x$​的一元二次方程​$ax^2 +bx +1=0(a＞0)$​的两个实数根，
​$ $​则​$x_1+x_2=-\frac {b}{a}$​，​$x_1x_2=\frac {1}{a}$​。
因为该方程是“差根方程”，
所以​$|x_1 - x_2|=1$​，
​$ $​所以​$|x_1 - x_2|^2=1$​，即​$(x_1+x_2)^2 -4x_1x_2=1$​，
代入得：​$\frac {b^2}{a^2} - \frac {4}{a}=1$​，
整理得：​$b^2 -4a =a^2$​，
​$ $​即​$a$​与​$b$​之间的数量关系为​$b^2=a^2+4a$​。
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