解：$ (1) $证明如下：
$ $连接$CE$。
$ $因为四边形$ABCE$内接于$\odot O$，
$ $所以$∠ ABC+∠ AEC=180°$。
$ $因为$∠ AEC=∠ DCE+∠ ADC$，
$ $所以$∠ ADC＜∠ AEC$，
$ $所以$∠ ABC+∠ ADC＜180°$。
$ (2) (1)$中猜想的结论不成立，$∠ ABC+∠ ADC＞180°$，证明如下：
$ $延长$AD$交$\odot O$于点$G$，连接$CG$。
$ $因为四边形$ABCG $内接于$\odot O$，
$ $所以$∠ ABC+∠ AGC=180°$。
$ $因为$∠ ADC=∠ DCG+∠ AGC$，
$ $所以$∠ ADC＞∠ AGC$，
$ $所以$∠ ABC+∠ ADC＞180°$。
$ (3) $因为$∠ BAD=30°$，$∠ BCD=150°$，
$ $所以$∠ BAD+∠ BCD=180°$，
$ $所以$A，B，C，D$四点共圆。
$ $作四边形$ABCD$的外接圆$\odot O$，连接$OB，OD$，
$ $过点$A$作$AM⊥ BD$于点$M$，过点$C$作$CN⊥ BD$于点$N$。
$ $因为$OB=OD$，$∠ BOD=2∠ BAD=60°$，
$ $所以$△ OBD$为等边三角形，
$ $所以$OB=BD=6$，所以$\odot O$的直径为$12$。
$ $因为$S_{△ ABD}=\frac {1}{2}BD· AM$，$S_{△ CBD}=\frac {1}{2}BD· CN$，
$ $所以$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ CBD}=\frac {1}{2}BD·(AM+CN)=3(AM+CN)$，
$ $所以当$AM+CN$取最大值时，$S_{四边形ABCD}$取最大值。
$ $当$A，M，N，C$四点共线，且$AC$为$\odot O$的直径时，$AM+CN$取最大值，
$ $此时$AM+CN=AC=12$，
$ $所以四边形$ABCD$面积的最大值为$3×12=36$。
