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​$ (1)$​证明：延长​$EP_{交}CD$​于点​$M$​。
∵​$AB// CD，$​
∴​$∠ AEP=∠ GMP$​。
∵​$∠ EPG $​是​$△ PGM$​的外角，
∴​$∠ EPG=∠ PMG+∠ PGC=∠ AEP+∠ PGC$​。
​$ (2)$​解：∵​$EG $​平分​$∠ PEF，$​
∴​$∠ PEG=∠ FEG$​。
​$ $​设​$∠ AEP=α，∠ PGC=β$​，
​$ $​则​$∠ PGE=110°-α，∠ EFG=2β$​。
∵​$AB// CD，$​∴​$∠ AEG+∠ EGC=180°$​。
又∵​$∠ AEP+∠ PGE=110°$​，
∴​$∠ PEG+∠ PGC=180°-110°=70°$​，
∴​$∠ PEG=70°-β$​。
∵​$∠ CGE$​是​$△ EFG $​的外角，
∴​$∠ FEG=∠ CGE-∠ EFG=∠ PGC+∠ PGE-∠ EFG$​
​$=β+(110°-α)-2β=110°-α-β$​，
∴​$70°-β=110°-α-β$​，
解得​$α=40°$​，
∴​$∠ AEP=40°$​。




​$ (1)$​证明：过点​$E$​作​$ET// AB$​。
∵​$AB// ET，$​
∴​$∠ B=∠ BET$​。
∵​$∠ BED=∠ B+∠ D，∠ BED=∠ BET+∠ DET$​，
∴​$∠ D=∠ DET，$​
∴​$ET// CD，$​
∴​$AB// CD$​。
​$ (2)$​解：如图，由​$(1)$​可知，
​$ ∠1+∠3=∠ B=60°$​，
​$ $​又​$∠3=180°-∠2$​，
∴​$∠1+(180°-∠2)=60°，$​
∴​$∠2-∠1=120°$​。
​$ (3)$​解：令​$∠ AGM=2α，∠ CHM=β$​，则​$∠ N=2α$​，
​$ $​由​$(1)$​可得​$∠ M=2α+β$​。
∵射线​$GH$​是​$∠ BGM$​的平分线，
∴​$∠ FGM=\frac {1}{2}∠ BGM=\frac {1}{2}(180°-∠ AGM)=90°-α$​，
∴​$∠ AGH=∠ AGM+∠ FGM=2α+90°-α=90°+α$​。
∵​$∠ M=∠ N+\frac {1}{2}∠ FGN，$​
∴​$2α+β=2α+\frac {1}{2}∠ FGN$​，
∴​$∠ FGN=2β$​。
​$ $​过点​$H$​作​$HT// GN$​，
则​$∠ MHT=∠ N=2α，∠ GHT=∠ FGN=2β$​，
∴​$∠ MHG=∠ MHT+∠ GHT=2α+2β$​，
​$ ∠ CHG=∠ CHM+∠ MHG=β+2α+2β=2α+3β$​。
∵​$AB// CD，$​
∴​$∠ AGH+∠ CHG=180°$​，
∴​$90°+α+2α+3β=180°$​，
∴​$α+β=30°，$
​∴​$∠ MHG=2(α+β)=60°$​。
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