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第24页

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 解：

 (1) $\because$ 四边形$ABCD$为矩形，

 $\therefore AD// BC，$$AO=CO，$

 $\therefore ∠ AEO=∠ CFO。$

 在$△ AOE$和$△ COF$中，

 $\begin{cases} ∠ AEO=∠ CFO, \\ ∠ AOE=∠ COF, \\ AO=CO, \end{cases}$

 $\therefore △ AOE≌△ COF。$

 (2) 当$α=90°$时，四边形$AFCE$为菱形。

 理由：$\because △ AOE≌△ COF，$$\therefore OE=OF，$

 又$\because AO=CO，$$\therefore$ 四边形$AFCE$为平行四边形。

 又$\because ∠ AOE=90°，$即$AC⊥ EF，$

 $\therefore$ 平行四边形$AFCE$为菱形。

 解：

 (1) 证明：$\because △ BOC$绕点$C$按顺时针方向旋转$60°$得到$△ ADC，$

 $\therefore △ BCO≌△ ACD，$且$∠ OCD=60°，$

 $\therefore OC=DC，$

 $\therefore △ COD$是等边三角形。

 (2) $\because △ ABC$是等边三角形，

 $\therefore ∠ BAO+∠ OAC=60°，$$∠ ABO+∠ OBC=60°。$

 $\because ∠ AOB=105°，$

 $\therefore ∠ BAO+∠ ABO=180° -105°=75°，$

 $\therefore ∠ OAC+∠ OBC=60°+60° -75°=45°。$

 $\because △ BCO≌△ ACD，$$\therefore ∠ OBC=∠ DAC，$

 $\therefore ∠ OAD=∠ OAC+∠ DAC=∠ OAC+∠ OBC=45°。$

 (3) 由

 (1)知$△ COD$是等边三角形，$\therefore ∠ COD=60°。$

由

 (2)知$∠ OAD=45°。$

 ① 当$OA=OD$时，$∠ OAD=∠ ODA=45°，$

 $\therefore ∠ AOD=90°，$

 $\therefore α=360° -105° -60° -90°=105°；$

 ② 当$OA=AD$时，$∠ AOD=\frac{1}{2}×(180° -45°)=67.5°，$

 $\therefore α=360° -105° -60° -67.5°=127.5°；$

 ③ 当$OD=AD$时，$∠ AOD=∠ OAD=45°，$

 $\therefore α=360° -105° -60° -45°=150°。$

 综上所述，当$α=105°$或$127.5°$或$150°$时，$△ AOD$是等腰三角形。

 解：

 (1) 证明：$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AC⊥ BD，$

 $\therefore ∠ BOE=90°。$

 $\because FH⊥ AC，$$\therefore ∠ EHF=90°=∠ BOE。$

 由旋转的性质得$BE=EF，$$∠ BEF=90°，$

 $\therefore ∠ BEO+∠ HEF=90°，$

 又$\because ∠ BEO+∠ OBE=90°，$

 $\therefore ∠ OBE=∠ HEF。$

 在$△ OBE$和$△ HEF$中，

 $\begin{cases} ∠ BOE=∠ EHF, \\ ∠ OBE=∠ HEF, \\ BE=EF, \end{cases}$

 $\therefore △ OBE≌△ HEF。$

 (2) $\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$AB=2，$

 $\therefore OA=OC=\sqrt{2}，$$∠ ACD=45°。$

 $\because △ OBE≌△ HEF，$$\therefore OE=HF=x。$

 $\because ∠ FHC=90°，$$∠ HCF=45°，$

 $\therefore △ HCF$是等腰直角三角形，

 $\therefore HF=CH=x，$

 $\therefore CF=\sqrt{HF^2+CH^2}=\sqrt{2}x。$

 $\therefore OE^2 - CF = x^2 - \sqrt{2}x = (x-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - \frac{1}{2}。$

 $\because$ 点$E$在线段$AO$上（与端点不重合），$OA=\sqrt{2}，$

 $\therefore 0<x<\sqrt{2}，$

 $\therefore$ 当$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$OE^2 - CF$取得最小值，为$-\frac{1}{2}。$