第16页

【分析】
本题考查无理数在数轴上的表示及正方形的拼接。第(1)问利用两个小正方形拼成大正方形，面积为2，故边长为√2，结合数轴位置确定点N、M表示的数；第(2)问利用长方形面积等于拼成的大正方形面积求边长，再在数轴上表示无理数。
【解析】
(1) 两个边长为1的小正方形面积和为1×1×2=2，拼成的大正方形面积为2，因此大正方形边长为√2。由图②可知，点N在原点左侧，到原点的距离为√2，故N表示的数为-√2；点M在原点右侧，到原点的距离为√2，故M表示的数为√2。
(2) ① 5×1长方形的面积为5，拼成的大正方形面积为5，故大正方形边长a=√5；② 在数轴上，以原点为圆心，√5为半径画弧，与数轴正半轴交点为表示a的点M，与数轴负半轴交点为表示a-3的点N。
【答案】
(1) $-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$；(2) ① $\sqrt{5}$；② 画图（略）
【知识点】
无理数在数轴上的表示，正方形面积与边长的关系，图形拼接
【点评】
本题通过面积法将无理数与数轴上的点对应，核心是利用正方形面积求边长，理解数轴上点与实数的对应关系，难度适中。
【难度系数】
0.6
【分析】
本题是几何探究题，从特殊到一般，利用全等三角形的判定与性质解决线段关系问题，实际应用需构造图形结合方位角和探究结论求解。问题背景通过构造全等三角形得出线段和关系；探索延伸推广条件证明结论仍成立；实际应用利用结论计算两舰艇距离。
【解析】
【问题背景】
延长FD至点G，使DG=BE，连接AG。
∵ ∠B=∠ADC=90°，
∴ ∠ADG=∠B=90°。
在△ABE和△ADG中：$\begin{cases} BE=DG \\ ∠B=∠ADG \\ AB=AD \end{cases}$，
∴ △ABE≌△ADG（SAS），得AE=AG，∠BAE=∠DAG。
∵ ∠EAF=60°，∠BAD=120°，
∴ ∠GAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=60°=∠EAF。
在△AEF和△AGF中：$\begin{cases} AE=AG \\ ∠EAF=∠GAF \\ AF=AF \end{cases}$，
∴ △AEF≌△AGF（SAS），得EF=GF=BE+FD。
【探索延伸】
结论仍然成立，理由：
延长FD至点G，使DG=BE，连接AG。
∵ ∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴ ∠B=∠ADG。
在△ABE和△ADG中：$\begin{cases} BE=DG \\ ∠B=∠ADG \\ AB=AD \end{cases}$，
∴ △ABE≌△ADG（SAS），得AE=AG，∠BAE=∠DAG。
∵ ∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴ ∠GAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF。
在△AEF和△AGF中：$\begin{cases} AE=AG \\ ∠EAF=∠GAF \\ AF=AF \end{cases}$，
∴ △AEF≌△AGF（SAS），得EF=GF=BE+FD，结论成立。
【实际应用】
连接EF，延长AE、BF交于点C。
由题意：∠AOB=140°，∠EOF=70°=$\frac{1}{2}$∠AOB，且∠OAE+∠OBF=180°，符合探索延伸条件，故EF=AE+BF。
AE=60×1.5=90（海里），BF=80×1.5=120（海里），
∴ EF=90+120=210（海里）。
【答案】
【问题背景】$EF=BE+FD$；【探索延伸】结论成立；【实际应用】210海里
【知识点】
全等三角形判定与性质，几何探究，方位角应用
【点评】
本题是典型的几何探究题，从特殊到一般的推理方法是关键，实际应用需灵活运用结论，考查逻辑推理能力，难度中等偏上。
【难度系数】
0.4