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D
A
D
B
B
B
C
D
【分析】
本题是直角三角形的勾股定理应用问题，首先需明确直角三角形中斜边与直角边的对应关系：题目中∠C=90°，因此c为斜边，a、b为两条直角边。解题思路是直接运用勾股定理，将已知的直角边长度代入公式计算斜边的平方即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，即$c^2 = a^2 + b^2$。
已知$a=3$，$b=5$，代入公式得：$c^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$，对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题考查勾股定理的基础应用，属于简单题型，核心是明确直角三角形中斜边与直角边的对应关系，直接代入公式计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
【分析】
要解决该问题，需利用角平分线的性质和勾股定理：首先，角平分线上的点到角两边的距离相等，可将点D到BC的距离转化为点D到AB的距离（即线段AD的长度）；再在直角三角形ABD中，用勾股定理计算AD的长度，即可得到答案。
【解析】
解：
∵ ∠A=90°，
∴ DA⊥AB，即点D到AB的距离为AD。
又
∵ BD平分∠ABC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ 点D到BC的距离 = AD。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD = √(BD² - AB²) = √(5² - 4²) = √9 = 3，
因此点D到BC的距离是3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质、勾股定理
【点评】
本题为基础几何应用题，核心考查角平分线的性质和勾股定理的应用，关键是通过角平分线的性质转化所求距离，步骤简洁，属于学生易掌握的题型。
【难度系数】
0.6
【分析】首先明确勾股数的定义：勾股数是满足两个条件的三个数，①必须是正整数；②较小两个数的平方和等于最大数的平方。接下来逐一验证每个选项是否符合这两个条件，即可得出正确答案。
【解析】根据勾股数的定义逐一分析选项：
选项A：2、3、4均为正整数，但$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，$4^2 = 16$，$13≠16$，不满足平方和条件，不是勾股数；
选项B：0.6、0.8、1是小数，不符合勾股数必须为正整数的要求，排除；
选项C：$3^2=9$，$4^2=16$，$5^2=25$，三个数为9、16、25，计算得$9^2 + 16^2 = 81 + 256 = 337$，$25^2 = 625$，$337≠625$，不满足平方和条件，不是勾股数；
选项D：6、8、10均为正整数，且$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$，满足勾股数的两个条件，是勾股数。
【答案】D
【知识点】勾股数的概念
【点评】本题考查勾股数的定义，解题关键是牢记勾股数需同时满足“正整数”和“两小边平方和等于最大边平方”两个条件，需注意避免忽略“正整数”这一易错点。
【难度系数】0.7
【分析】要判断△ABC的形状，已知三边满足的等式，可通过配方法将等式变形为几个完全平方和为0的形式，利用平方的非负性求出三边长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形类型。
【解析】已知等式为：$a^2 + b^2 + c^2 + 50 = 6a + 8b + 10c$，移项整理得：
$a^2 - 6a + b^2 - 8b + c^2 - 10c + 50 = 0$
对各项配方：
$a^2 -6a +9 + b^2 -8b +16 + c^2 -10c +25 = 0$，其中$9+16+25=50$，刚好与原式常数项匹配，等式化为：
$(a-3)^2 + (b-4)^2 + (c-5)^2 = 0$
因为平方数非负，几个非负数和为0则每个非负数为0，故：
$a-3=0$，$b-4=0$，$c-5=0$，解得$a=3$，$b=4$，$c=5$。
验证三边：$3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$，满足勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形。
【答案】B
【知识点】完全平方公式、勾股定理的逆定理
【点评】本题通过配方法求三角形边长，结合勾股定理逆定理判断三角形类型，是代数与几何结合的基础题型，考查核心知识点的应用。
【难度系数】0.7
【分析】
要解决这道题，首先利用直角三角形斜边中线的性质求出相关线段长度，再结合直角三角形的勾股定理计算DE的长度，最后通过线段的和差关系求出AD的长。步骤如下：1. 根据直角三角形斜边中线性质，由CE的长度得到AE的长度；2. 在直角三角形CDE中，用勾股定理算出DE；3. 用AE减去DE得到AD。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CE$是$AB$边上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$CE=AE=\frac{1}{2}AB$。已知$CE=10$，因此$AE=10$。
因为$CD$是$AB$边上的高，所以$△ CDE$是直角三角形。在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$CD=8$，$CE=10$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CE^2 - CD^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6$。
由图可知点$D$在$A$、$E$之间，因此$AD=AE - DE=10 - 6=4$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查直角三角形的性质与勾股定理的应用，核心是利用斜边中线的性质快速得到线段长度，再通过勾股定理计算，属于基础几何题，需熟练掌握相关性质。
【难度系数】
0.3
【分析】
要找到使△ABC为等腰直角三角形的格点C，需分三种情况讨论：直角在点A、直角在点B、直角在点C。结合网格的格点范围，逐一分析每种情况是否存在符合条件的格点，统计总数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，先确定格点A、B的位置，分情况分析：
1. 直角在点A时，AB为直角边，需满足AC⊥AB且AC=AB，在网格内可找到1个符合条件的格点；
2. 直角在点B时，AB为直角边，需满足BC⊥AB且BC=AB，此时对应的格点均超出网格范围，无符合条件的点；
3. 直角在点C时，AB为斜边，需满足AC=BC且AC⊥BC，在网格内可找到2个符合条件的格点；
综上，满足条件的格点C共有3个。
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形、格点问题
【点评】
本题考查格点中等腰直角三角形的构造，需分情况讨论直角顶点，结合网格限制筛选符合条件的点，利用坐标法可清晰分析各情况。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决这个问题，需先确定线段AD的取值范围：利用等腰三角形“三线合一”的性质，先求出AD的最小值，再结合D不含端点的条件确定AD的最大值范围，最后根据AD为正整数，统计符合条件的D点数量。
【解析】
过点A作$AE⊥BC$于点E，
因为$AB=AC=5$，$BC=8$，根据等腰三角形“三线合一”，E是BC的中点，故$BE=\frac{1}{2}BC=4$。
在$Rt△ABE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2 - BE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25 - 16}=3$，即AD的最小值为3（当D与E重合时）。
当D在BC上（不含端点B、C）时，AD的长度接近AB=5，故$AD＜5$。
因为AD为正整数，所以AD可取3、4：
当$AD=3$时，仅存在点E这1个点；
当$AD=4$时，在BC上E点的左右两侧各有1个点，共2个点。
因此符合条件的点D共有$1+2=3$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、勾股定理
【点评】
本题结合等腰三角形性质与勾股定理，需先确定AD的取值范围，再根据正整数要求统计点的个数，关键是理解底边上的高是AD的最小值，且D不含端点，避免端点的干扰。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决这道题，我们可以利用折叠的性质，结合勾股定理和三角形面积、直角三角形的判定来求解。首先通过折叠得到AE垂直平分BF，计算出BF的长度；再根据E是BC中点及折叠的线段相等关系，证明△BFC是直角三角形，最后用勾股定理算出CF的长。
【解析】
连接BF，交AE于点O。
由折叠的性质可知：△ABE沿AE折叠得到△AFE，因此AE垂直平分BF，即BF=2BO。
已知E为BC中点，BC=6 cm，所以BE=CE=1/2 BC=3 cm。
在Rt△ABE中，AB=4 cm，BE=3 cm，根据勾股定理：
AE=√(AB² + BE²)=√(4² + 3²)=5 cm。
△ABE的面积有两种计算方式：
S△ABE=1/2 × AB × BE = 1/2 × 4 × 3 = 6 cm²，
同时S△ABE=1/2 × AE × BO，代入AE=5 cm，得：
6 = 1/2 × 5 × BO，解得BO=12/5 cm，
因此BF=2BO=2×12/5=24/5 cm。
由折叠性质得BE=EF，又因为E是BC中点，BE=CE，所以EF=EC，
故∠EFC=∠ECF，结合折叠后∠EBF=∠EFB，可得∠BFC=∠EFB + ∠EFC=90°，即△BFC是直角三角形。
在Rt△BFC中，BC=6 cm，BF=24/5 cm，根据勾股定理：
CF=√(BC² - BF²)=√(6² - (24/5)²)=√(36 - 576/25)=√((900 - 576)/25)=√(324/25)=18/5 cm。
【答案】
$\dfrac{18}{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
折叠的性质、勾股定理、直角三角形的判定
【点评】
本题通过折叠的性质构造垂直平分线，结合三角形面积求线段长度，再利用线段相等关系证明直角三角形，综合考查了几何图形的性质应用，解题关键是辅助线的构造和折叠性质的灵活运用。
【难度系数】
0.5
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