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4
13
12
$90°$
$\frac{60}{13}$
18
$\frac{13}{6}$
8
27
10
【分析】首先，已知△ABC是等腰三角形（AB=AC），AD是BC边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AD是BC边上的高，即AD⊥BC，由此得到直角三角形ABD；接着计算BD的长度，因为AD是中线，BC=6，所以BD为BC的一半；最后在直角三角形ABD中，利用勾股定理即可求出AD的长度。
【解析】在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，得AD⊥BC，即△ABD为直角三角形。
因为BC=6，AD是BC中线，所以BD=½BC=½×6=3。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=√(AB² - BD²)=√(5² - 3²)=√(25-9)=√16=4。
【答案】4
【知识点】等腰三角形三线合一、勾股定理
【点评】本题考查等腰三角形性质与勾股定理的基础应用，核心是利用等腰三角形三线合一构造直角三角形，再通过勾股定理计算边长，属于常规基础题。
【难度系数】0.7
【分析】要计算BE的长度，首先利用垂直平分线的性质得到BE与CE的关系，再在直角三角形中用勾股定理求出CE，即可得到BE。
【解析】
∵点E在BC的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴BE=CE。
在Rt△ACE中，∠A=90°，AE=5，AC=12，由勾股定理得：
CE = √(AE² + AC²) = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13，
∴BE=CE=13。
【答案】13
【知识点】垂直平分线性质、勾股定理
【点评】本题结合垂直平分线性质与勾股定理求解，关键是利用垂直平分线转化线段关系，属于基础几何计算题。
【难度系数】0.4
【分析】
要解决这个问题，需利用勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。由于正方形的面积等于边长的平方，因此直角三角形两条直角边对应的正方形面积之和，等于斜边对应的正方形面积。观察图形可知，正方形A、B的面积和等于中间左侧正方形的面积，中间左侧正方形与正方形C的面积和等于正方形D的面积，据此可计算正方形D的面积。
【解析】
根据勾股定理及正方形面积与边长平方的关系：
1. 正方形A、B对应直角三角形的斜边平方等于A、B的面积和，即中间左侧正方形的面积为 $3 + 5 = 8$；
2. 右侧直角三角形的两条直角边分别为中间左侧正方形的边长和正方形C的边长，因此斜边（正方形D的边长）的平方等于中间左侧正方形面积与C的面积之和，即正方形D的面积为 $8 + 4 = 12$。
【答案】
12
【知识点】
勾股定理、正方形面积
【点评】
本题考查勾股定理的基础应用，核心是将正方形面积转化为直角三角形边长的平方，通过图形中正方形与直角三角形的对应关系建立面积联系，解题思路清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.3
【分析】
先利用直角三角形斜边中线定理得到DE与CE的关系，推出∠CDE=∠DCE；再结合已知条件计算BC的长度，通过勾股定理逆定理判断△ACB为直角三角形，最后推导∠CDE + ∠ACD的度数。
【解析】
1. 因为CD⊥AB，所以△CDB是直角三角形，∠CDB=90°。
2. 由于E为BC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得DE=CE=½BC，因此∠CDE=∠DCE。
3. 已知DE=8，所以BC=2DE=16。
4. 在△ACB中，AC=12，BC=16，AB=20，计算得：AC² + BC² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400，AB² = 20² = 400，故AC² + BC² = AB²。根据勾股定理的逆定理，△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，即∠DCE + ∠ACD = 90°。
5. 因为∠CDE=∠DCE，所以∠CDE + ∠ACD = ∠DCE + ∠ACD = 90°。
【答案】
90°
【知识点】
直角三角形斜边中线定理、勾股定理逆定理、等腰三角形性质
【点评】
本题综合运用直角三角形的核心性质，关键在于通过斜边中线建立边与角的联系，结合勾股定理逆定理推导直角，进而得出角度和，是几何角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.5
【分析】首先利用勾股定理的逆定理判断△ABC的形状，再结合三角形面积的两种计算方式建立等式，进而求出AC边上的高。
【解析】
1. 判断三角形形状：计算得$AB^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$AC^2 = 13^2 = 169$，因此$AB^2 + BC^2 = AC^2$，根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且直角在∠B处。
2. 计算三角形面积：直角三角形面积$S = \frac{1}{2}×AB×BC = \frac{1}{2}×5×12 = 30\ \mathrm{cm^2}$。
3. 求AC边上的高：设AC边上的高为$h$，根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×AC×h$，代入已知得$30 = \frac{1}{2}×13×h$，解得$h = \frac{60}{13}\ \mathrm{cm}$。
【答案】$\frac{60}{13}$
【知识点】勾股定理逆定理、三角形面积计算
【点评】本题核心是通过勾股定理逆定理确定直角三角形，再利用面积的两种表达式求解高，属于基础几何应用题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【分析】首先，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出DC的长度；接着，根据三角形外角的性质，∠ADC是△ABD的外角，等于∠B与∠BAD的和，结合已知∠ADC=2∠B，可推出∠BAD=∠B，进而得到AD=BD；最后将BD与DC相加，即可求出BC的长度。
【解析】在$Rt△ADC$中，$∠ C=90°$，$AC=12$，$AD=13$，根据勾股定理：
$DC=\sqrt{AD^2 - AC^2}=\sqrt{13^2 -12^2}=\sqrt{25}=5$。
因为$∠ ADC$是$△ ABD$的外角，所以$∠ ADC=∠ B + ∠ BAD$，又$∠ ADC=2∠ B$，因此$∠ B + ∠ BAD=2∠ B$，即$∠ BAD=∠ B$，故$△ ABD$为等腰三角形，$BD=AD=13$。
所以$BC=BD + DC=13+5=18$。
【答案】18
【知识点】勾股定理、等腰三角形判定、三角形外角性质
【点评】本题综合运用直角三角形勾股定理、等腰三角形判定及三角形外角性质，核心是通过外角关系推导角相等得到等腰三角形，进而求解，属于中等难度的几何计算题，需学生灵活运用相关性质。
【难度系数】0.5
【分析】
要解决本题，需利用折叠的性质（折叠前后对应边相等），结合勾股定理建立方程求解。首先，第一次折叠使点B落在BC上的D处，可得AD=AB；第二次折叠使点C与D重合，可得DE=CE。通过设AE的长度为未知数，结合线段关系和勾股定理列方程即可求解。
【解析】
1. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2cm，AC=3cm，由勾股定理得BC=√(AB²+AC²)=√(2²+3²)=√13 cm。
2. 第一次折叠，点B落在BC上的D处，根据折叠性质，AD=AB=2cm。设AE=x cm，则CE=AC - AE=(3 - x) cm，第二次折叠使C与D重合，故DE=CE=(3 - x) cm。
3. 建立平面直角坐标系，令A(0,0)，B(0,2)，C(3,0)，BC的直线方程为y=-2/3 x +2。设D点坐标为(x₁,y₁)，满足AD=2（即x₁²+y₁²=4）且在BC上，代入得x₁² + (-2/3 x₁ +2)²=4，解得x₁=24/13，y₁=10/13，即D(24/13,10/13)。
4. E在AC上，坐标为(x,0)，由DE=CE，根据两点间距离公式：
√[(x - 24/13)² + (0 - 10/13)²] = 3 - x
两边平方得：(x - 24/13)² + (100/169) = (3 - x)²
展开整理：x² - (48/13)x + 576/169 + 100/169 = 9 -6x +x²
化简得：5 = (30/13)x → x=13/6。
【答案】
13/6
【知识点】
折叠的性质、勾股定理、两点间距离公式
【点评】
本题通过折叠性质转化线段关系，结合坐标法和方程思想求解，关键是利用折叠得到的等线段建立等式，体现了数形结合的解题思路，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
【分析】本题需通过连接辅助线将四边形问题转化为特殊三角形问题：已知AB=AD且∠A=60°，先构造等边三角形ABD，得到BD的长度和∠ADB的度数；再结合∠ADC=150°求出∠BDC为直角；接着根据四边形周长得到BC与DC的和，最后在直角三角形BDC中用勾股定理列方程求解DC的长度。
【解析】连接BD，
∵AB=AD=6，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=6，∠ADB=60°，
∵∠ADC=150°，
∴∠BDC=∠ADC - ∠ADB=150°-60°=90°，
∵四边形ABCD的周长为30，
∴AB+AD+BC+DC=30，
即6+6+BC+DC=30，
∴BC+DC=18，
设DC=x，则BC=18 - x，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：
BD² + DC² = BC²，
即6² + x² = (18 - x)²，
展开得：36 + x² = 324 - 36x + x²，
化简得：36 = 324 - 36x，
解得：36x=288，x=8，
即DC的长为8。
【答案】8
【知识点】等边三角形判定、勾股定理、四边形周长计算
【点评】本题核心是通过辅助线将不规则四边形转化为等边三角形和直角三角形，利用特殊三角形性质与勾股定理求解，关键在于构造辅助线找到直角关系，难度适中。
【难度系数】0.5
【分析】
要解决这个问题，需结合图①的面积关系，利用直角三角形的边长性质求出关键代数式的值，再计算图②的大正方形面积。首先，图①的大正方形面积对应直角三角形斜边的平方，中间小正方形的边长为直角边的差，由此可求出直角边乘积；再根据图②大正方形的边长为直角边的和，结合完全平方公式计算其面积。
【解析】
1. 分析图①的面积关系：
图①中，大正方形的面积等于直角三角形斜边的平方，因此$a^2 + b^2 = 15$；
中间小正方形的边长为$b - a$，其面积为$(b - a)^2 = 3$。
2. 推导$2ab$的值：
展开小正方形的面积公式：$(b - a)^2 = b^2 - 2ab + a^2 = 3$，将$a^2 + b^2 = 15$代入，得$15 - 2ab = 3$，解得$2ab = 12$。
3. 计算图②的大正方形面积：
图②中大正方形的边长为$a + b$，其面积为$(a + b)^2$，展开得：
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) + 2ab = 15 + 12 = 27$。
【答案】
27
【知识点】
勾股定理、完全平方公式
【点评】
本题以赵爽弦图为载体，考查勾股定理与完全平方公式的综合应用，核心是利用图形面积关系建立等式，推导所需代数式的值，属于中等难度的代数几何结合题，能有效考查学生的数形结合能力。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决△CDE周长最小时CE的长度，首先明确：折叠后A、D关于射线BM对称，因此BM是线段AD的垂直平分线，故DE=AE。△CDE的周长=CD+DE+CE，其中CD是定值，要使周长最小，只需DE+CE最小，即AE+CE最小，根据“两点之间线段最短”，当E为AC与BM的交点时，AE+CE最小，此时△CDE周长最小。接下来先判断△ABC的形状，再结合折叠性质计算相关线段长度，最后用勾股定理列方程求解CE。
【解析】
1. 由折叠性质可知，A、D两点关于射线BM对称，因此DE=AE，且AB=BD=12，∠BDE=∠BAC。
2. 判断△ABC的形状：已知AB=12，AC=16，BC=20，计算得$12^2+16^2=144+256=400=20^2$，即$AB^2+AC^2=BC^2$，故△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，因此∠BDE=90°，即DE⊥BC。
3. 计算CD的长度：$CD=BC-BD=20-12=8$。
4. 设CE=x，则$AE=AC-CE=16-x$，又因为DE=AE，所以$DE=16-x$。
5. 在Rt△CDE中，根据勾股定理：$CE^2=DE^2+CD^2$，代入得：$x^2=(16-x)^2+8^2$，展开方程：$x^2=256-32x+x^2+64$，消去$x^2$后解得$32x=320$，即$x=10$。
【答案】
10
【知识点】
轴对称性质、勾股定理、折叠性质
【点评】
本题结合折叠的轴对称特性，利用“两点之间线段最短”求最短周长，再通过勾股定理建立方程求解，综合性较强，需熟练掌握几何性质的应用。
【难度系数】
0.5
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