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解：(1)先在网格中找到格点$$$$M$$$$,$$$$N$$$$,作直
线$$$$MN$$$$,使$$$$MN$$$$垂直平分$$$$BC$$$$,直线$$$$MN$$$$交
$$$$AC$$$$于点$$$$P$$$$,点$$$$P$$$$即为所求。
$\frac{5}{3}$

证明：连接$EE'。$
$\because △ ABE ≌ △ CBE'，$
$\therefore BE=BE'=2，$$AE=CE'=1，$$∠ ABE=∠ CBE'。$
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore ∠ ABC=90°，$即$∠ ABE + ∠ EBC = 90°，$
$\therefore ∠ CBE' + ∠ EBC = 90°，$即$∠ EBE'=90°，$
$\therefore △ BEE'$为等腰直角三角形，
$\therefore E'E^2 = BE^2 + BE'^2 = 8，$$∠ BE'E = 45°。$
$\because CE^2 = 3^2 = 9，$$CE'^2 = 1^2 = 1，$
$\therefore E'E^2 + CE'^2 = CE^2，$
$\therefore ∠ EE'C = 90°，$
$\therefore ∠ BE'C = ∠ BE'E + ∠ EE'C = 135°。$

解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，
∴​$BC = CA$​。
​$ $​设​$ BC = CA = x\mathrm {cm}$​，则​$ OC = (36 - x)\mathrm {cm}$​。
∵​$∠ O = 90°$​，
∴在​$Rt△ BOC$​中，由勾股定理得​$ OB^2 + OC^2 = BC^2$​，
​$ $​即​$ 12^2 + (36 - x)^2 = x^2$​，
​$ $​解得​$ x = 20$​。
∴​$BC = 20\ \mathrm {cm}$​。
答：机器人行走的路程​$BC$​是​$20\ \mathrm {cm}$​。
【分析】
要解决这个问题，首先观察等式$PC^2 - PA^2 = AB^2$，结合垂直平分线的性质，若能使$PC=PB$，则等式可转化为$PB^2 - PA^2 = AB^2$，而在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，根据勾股定理$PA^2 + AB^2 = PB^2$，正好匹配该等式。因此需要找到$BC$的垂直平分线，其与$AC$的交点即为所求的点$P$，再通过设未知数列方程计算$PA$的长度。
【解析】
(1) 画法：在网格中找到格点$M$、$N$，作直线$MN$，使$MN$垂直平分线段$BC$，直线$MN$与$AC$交于点$P$，则点$P$即为所求。
(2) 计算$PA$的长度：
由作图可知，直线$MN$垂直平分$BC$，因此$PC=PB$。
设$PC=PB=x$，观察网格得$AC=6$，则$PA=AC - PC=6 - x$；又$AB=4$，且$∠ A=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，根据勾股定理：
$PA^2 + AB^2 = PB^2$
代入得：
$(6 - x)^2 + 4^2 = x^2$
展开并化简：
$36 - 12x + x^2 + 16 = x^2$
$52 - 12x = 0$
解得$x=\frac{13}{3}$，因此$PA=6 - \frac{13}{3}=\frac{5}{3}$。
【答案】
(1) 画法：找到格点$M$、$N$，作直线$MN$垂直平分$BC$，直线$MN$交$AC$于点$P$，点$P$即为所求；(2) $\frac{5}{3}$
【知识点】
垂直平分线性质、勾股定理
【点评】
本题结合网格考查几何作图与代数计算的结合，利用垂直平分线转化线段，通过勾股定理建立方程求解，是初中几何的典型题型，注重知识的综合应用。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决这个问题，我们可利用全等三角形的性质得到对应边、角的关系，结合正方形的直角推出等腰直角三角形，再通过勾股定理的逆定理判断直角三角形，最终求出目标角度。具体思路：1. 连接EE'，利用全等得到边和角的等量关系；2. 结合正方形的直角推导∠EBE'为90°，得到等腰直角△BEE'，计算其边长和底角；3. 用勾股定理逆定理判断△EE'C为直角三角形，求出∠EE'C；4. 两个角相加得到∠BE'C。
【解析】
解：连接 $EE'$。
∵ $△ ABE ≌ △ CBE'$，
∴ $BE = BE' = 2$，$AE = CE' = 1$，$∠ ABE = ∠ CBE'$。
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $∠ ABC = 90°$，即 $∠ ABE + ∠ EBC = 90°$，
∴ $∠ CBE' + ∠ EBC = 90°$，即 $∠ EBE' = 90°$，
∴ $△ BEE'$ 为等腰直角三角形，
∴ $EE'^2 = BE^2 + BE'^2 = 2^2 + 2^2 = 8$，$∠ BE'E = 45°$。
又
∵ $CE = 3$，$CE' = 1$，
∴ $EE'^2 + CE'^2 = 8 + 1 = 9 = 3^2 = CE^2$，
∴ $△ EE'C$ 是直角三角形，且 $∠ EE'C = 90°$，
∴ $∠ BE'C = ∠ BE'E + ∠ EE'C = 45° + 90° = 135°$。
【答案】135°
【知识点】全等三角形性质，正方形性质，勾股定理逆定理
【点评】本题综合考查全等三角形、正方形的性质及勾股定理逆定理的应用，核心是通过全等转化边、角关系，构造特殊三角形求解角度，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】0.5
【分析】首先根据小球和机器人速度相等、运动时间相等，得出两者的路程相等，即$BC=CA$；接着设$BC$的长度为$x\ \mathrm{cm}$，则$AC=x\ \mathrm{cm}$，$OC$的长度为$OA - AC=(36-x)\ \mathrm{cm}$；由于$∠ O$是直角，在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，利用勾股定理建立关于$x$的方程，解方程即可求出$BC$的长度。
【解析】$\because$小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，且运动时间相同，$\therefore BC=CA$。设$BC=CA=x\ \mathrm{cm}$，则$OC=(36-x)\ \mathrm{cm}$。在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，根据勾股定理得：$OB^2 + OC^2 = BC^2$，代入$OB=12\ \mathrm{cm}$，得：$12^2 + (36-x)^2 = x^2$，展开计算：$144 + 1296 -72x +x^2 =x^2$，整理得：$1440 -72x=0$，解得$x=20$，即$BC=20\ \mathrm{cm}$。
【答案】$20\ \mathrm{cm}$
【知识点】勾股定理、一元一次方程应用
【点评】本题是勾股定理在实际问题中的典型应用，关键是利用速度与时间的关系找到线段相等，再通过勾股定理构造方程求解，思路清晰，属于基础应用题，需掌握勾股定理与方程思想的结合运用。
【难度系数】0.6
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