【分析】
首先利用勾股定理求出直角△ABC中AC的长度，再根据动点P的运动路径（C→A→B），分情况讨论P的位置，结合等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积法求解对应时间t。对于第（1）问，CP=3cm需分P在CA上、P在AB上、P与B重合三种情况；第（2）问△BCP为等腰三角形，需分BC=BP、BC=CP、BP=CP三种情况，分别计算t的值。
【解析】
在$△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AB=5\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4\ \mathrm{cm}$，动点P速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，运动时间为$t\ \mathrm{s}$，则P运动路程为$t\ \mathrm{cm}$。
（1）求$CP=3\ \mathrm{cm}$时的t：
① 当P在CA上时，$CP=t$，令$t=3$，满足$0＜t≤4$，故$t=3$；
② 当P在AB上且不与B重合时，$CP=CB=3\ \mathrm{cm}$，过C作$CH⊥AB$于H，由三角形面积公式：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CH$，代入得$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5×CH$，解得$CH=\frac{12}{5}\ \mathrm{cm}$；
在$Rt△BCH$中，由勾股定理得$BH=\sqrt{BC^2 - CH^2}=\sqrt{3^2 - (\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}\ \mathrm{cm}$，
因$CP=CB$，$CH⊥AB$，故H为PB中点，$PB=2BH=\frac{18}{5}\ \mathrm{cm}$，
此时P运动路程为$CA + (AB - PB)=4 + (5 - \frac{18}{5})=\frac{27}{5}\ \mathrm{cm}$，故$t=\frac{27}{5}$；
③ 当P与B重合时，$CP=CB=3\ \mathrm{cm}$，P运动路程为$CA + AB=4+5=9\ \mathrm{cm}$，故$t=9$；
综上，当$t=3$或$\frac{27}{5}$或$9$时，$CP=3\ \mathrm{cm}$。
（2）求$△BCP$为等腰三角形时的t：
分三种情况：
① 若$BC=BP=3\ \mathrm{cm}$，则$AP=AB - BP=5-3=2\ \mathrm{cm}$，P运动路程为$CA + AP=4+2=6\ \mathrm{cm}$，故$t=6$；
② 若$BC=CP=3\ \mathrm{cm}$，同（1）中②的情况，得$t=\frac{27}{5}$；
③ 若$BP=CP$，设$BP=CP=x\ \mathrm{cm}$，P在AB上，由坐标法或勾股定理可得$AP=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$，P运动路程为$CA + AP=4+\frac{5}{2}=\frac{13}{2}\ \mathrm{cm}$，故$t=\frac{13}{2}$；
④ 当P在CA上时，$CP=BC=3\ \mathrm{cm}$，对应$t=3$；
综上，t的值为$3$或$\frac{27}{5}$或$\frac{13}{2}$或$6$。
【答案】
(1) $t=3$或$\frac{27}{5}$或$9$；(2) $3$或$\frac{27}{5}$或$\frac{13}{2}$或$6$
【知识点】
勾股定理、等腰三角形性质、动点问题
【点评】
本题为直角三角形背景下的动点问题，需运用分类讨论思想分析动点位置，结合勾股定理、面积法、等腰三角形性质求解，考查学生的逻辑推理与综合应用能力，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
