第18页 - 通成学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

B

解：

$ (1) $在$△ABC$中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$。

∵$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线$BE$，$CD$交于点$F$，

∴$∠ ABC=2∠ FBC$，$∠ ACB=2∠ FCB$。

∴$2∠ FBC+2∠ FCB=∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，

∴$∠ FBC+∠ FCB=\frac {1}{2}(180°-∠ A)=90°-\frac {1}{2}∠ A$。

∵$∠ BFD$是$△ FBC$的一个外角，

∴$∠ BFD=∠ FBC+∠ FCB=90°-\frac {1}{2}∠ A$。

∵$∠ A=100°$，

∴$∠ BFD=90°-\frac {1}{2}×100°=40°$。

$ (2) $∵$∠ AMF=180°-∠ 1$，$∠ ANF=180°-∠ 2$，$∠ 1+∠ 2=160°$，

∴$∠ AMF+∠ ANF=360°-(∠ 1+∠ 2)=200°$。

由折叠的性质，得$∠ AMF=2∠ AMN$，$∠ ANF=2∠ ANM$，

∴$2∠ AMN+2∠ ANM=∠ AMF+∠ ANF=200°$，

∴$∠ AMN+∠ ANM=100°$，

∴$∠ A=180°-(∠ AMN+∠ ANM)=80°$。

由$(1)$得$∠ FBC+∠ FCB=90°-\frac {1}{2}∠ A=90°-\frac {1}{2}×80°=50°$，

∴$∠ BFC=180°-(∠ FBC+∠ FCB)=180°-50°=130°$。

B

 解：$\because ∠ B=30°，$$∠ ACD=100°，$

 $\therefore ∠ BAC=∠ ACD-∠ B=100°-30°=70°，$

 $\therefore ∠ EAC=180°-∠ BAC=180°-70°=110°。$

 $\because AD$是$∠ CAE$的平分线，

 $\therefore ∠ DAE=\frac{1}{2}∠ EAC=55°。$

【分析】要解决这道题，我们可以通过三角形外角性质求出∠ABD的度数，再结合角平分线定义得到∠DBC的度数，最后利用平行线的内错角相等求出∠BDE的度数，逐步推导即可得到答案。
【解析】
1. 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，在△ABD中，∠BDC是外角，因此：
∠BDC = ∠A + ∠ABD
已知∠A=60°，∠BDC=80°，代入计算得：
∠ABD = ∠BDC - ∠A = 80° - 60° = 20°
2. 因为BD是△ABC的角平分线，根据角平分线的定义，角平分线将角分为两个相等的部分，所以：
∠DBC = ∠ABD = 20°
3. 已知DE//BC，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得：
∠BDE = ∠DBC = 20°
【答案】
B
【知识点】
三角形外角性质，角平分线定义，平行线性质
【点评】
本题综合考查三角形外角性质、角平分线定义和平行线的性质，属于基础几何计算题，解题核心是利用相关性质完成角度的转换，难度适中。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先明确F是△ABC的内心（三条角平分线的交点），因此AF、BF、CF分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB。要判断∠DFB与哪个角相等，需结合角平分线性质、三角形内角和定理，以及AF⊥DE的条件，推导∠DFB的表达式，再与各选项中的角对比，找到对应关系。
【解析】
∵ △ABC的三条角平分线交于点F，
∴ AF平分∠BAC，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
即∠DAF = $\frac{1}{2}$∠BAC，∠DBF = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCF = $\frac{1}{2}$∠ACB。
设∠BAC=α，∠ABC=β，∠ACB=γ，根据三角形内角和定理，α+β+γ=180°。
∵ AF⊥DE，
∴ ∠AFD=90°，
在△ADF中，∠ADF=180°-∠DAF-∠AFD=180°-$\frac{1}{2}α$-90°=90°-$\frac{1}{2}α$，
∴ ∠BDF=180°-∠ADF=180°-(90°-$\frac{1}{2}α$)=90°+$\frac{1}{2}α$。
在△BDF中，由三角形内角和得：
∠DFB=180°-∠BDF-∠DBF=180°-(90°+$\frac{1}{2}α$)-$\frac{1}{2}β$=90°-$\frac{1}{2}(α+β)$。
又
∵ γ=180°-α-β，
∴ ∠BCF=$\frac{1}{2}γ$=$\frac{1}{2}(180°-α-β)$=90°-$\frac{1}{2}(α+β)$，
因此∠DFB=∠BCF。
【答案】
B
【知识点】
三角形角平分线、三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形内心性质与内角和定理的综合应用，核心是利用角平分线拆分角度，结合垂直条件推导角度关系，解题关键是通过代数设角简化角度计算，属于几何角度推导的典型题。
【难度系数】
0.5

【分析】
第(1)问：先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC与∠ACB的和，再结合角平分线性质得到∠FBC、∠FCB与∠ABC、∠ACB的关系，最后根据三角形外角性质，∠BFD等于∠FBC与∠FCB的和，代入∠A的度数计算结果。
第(2)问：先由平角定义结合∠1+∠2的度数求出∠AMF与∠ANF的和，再利用折叠性质得到∠AMF、∠ANF与∠AMN、∠ANM的关系，求出∠AMN+∠ANM，进而算出∠A的度数，最后结合第(1)问结论和三角形内角和求出∠BFC的度数。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A。
∵ BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴ ∠ABC = 2∠FBC，∠ACB = 2∠FCB，
∴ 2∠FBC + 2∠FCB = ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A，
∴ ∠FBC + ∠FCB = $\frac{1}{2}(180° - ∠A) = 90° - \frac{1}{2}∠A$。
∵ ∠BFD是△FBC的外角，根据三角形外角性质：
∠BFD = ∠FBC + ∠FCB，
又
∵ ∠A = 100°，
∴ ∠BFD = 90° - $\frac{1}{2}×100° = 40°$。
(2) 根据平角定义：
∠AMF = 180° - ∠1，∠ANF = 180° - ∠2，
∵ ∠1 + ∠2 = 160°，
∴ ∠AMF + ∠ANF = 360° - (∠1 + ∠2) = 200°。
由折叠性质得：∠AMF = 2∠AMN，∠ANF = 2∠ANM，
∴ 2∠AMN + 2∠ANM = 200°，即∠AMN + ∠ANM = 100°。
在△AMN中，根据三角形内角和定理：
∠A = 180° - (∠AMN + ∠ANM) = 80°。
由(1)的结论：∠FBC + ∠FCB = 90° - $\frac{1}{2}∠A$，
代入∠A=80°得：∠FBC + ∠FCB = 90° - 40° = 50°。
在△BFC中，根据三角形内角和定理：
∠BFC = 180° - (∠FBC + ∠FCB) = 180° - 50° = 130°。
【答案】
(1) 40°；(2) 130°
【知识点】
三角形内角和、角平分线性质、折叠性质
【点评】
本题是结合角平分线、三角形内角和、外角性质及折叠性质的探究题，需灵活运用几何定理分步推导，考查逻辑推理能力，是中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5

【分析】
要计算∠A的度数，首先根据角平分线的定义求出△ABC的外角∠ACD的度数，再利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ CE是∠ACD的平分线，∠ACE=60°，
∴ ∠ACD = 2∠ACE = 2×60° = 120°，
又
∵ ∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ ∠ACD = ∠A + ∠B，
已知∠B=35°，
∴ ∠A = ∠ACD - ∠B = 120° - 35° = 85°。
【答案】
B
【知识点】
角平分线性质；三角形外角性质
【点评】
本题主要考查角平分线的定义和三角形外角的性质，属于基础题，解题关键是熟练运用三角形外角的性质进行角度计算。
【难度系数】
0.7

【分析】要解决本题，需结合三角形外角性质、角平分线定义及三角形内角和定理。首先利用外角性质表示出△ABC的两个外角之和，再结合角平分线得到△APC中两个内角的和，最后通过三角形内角和建立∠B与∠P的关系，进而求出∠B的度数。
【解析】
设∠CAF是△ABC的外角，故∠CAF = ∠B + ∠ACB；∠ACE是△ABC的外角，故∠ACE = ∠B + ∠BAC。
因此，∠CAF + ∠ACE = (∠B + ∠ACB) + (∠B + ∠BAC) = 2∠B + (∠BAC + ∠ACB)。
在△ABC中，∠BAC + ∠ACB = 180° - ∠B，代入上式得：
∠CAF + ∠ACE = 2∠B + 180° - ∠B = 180° + ∠B。
因为AP平分∠CAF，CP平分∠ACE，所以：
∠PAC = $\frac{1}{2}$∠CAF，∠PCA = $\frac{1}{2}$∠ACE，
则∠PAC + ∠PCA = $\frac{1}{2}$(∠CAF + ∠ACE) = $\frac{1}{2}$(180° + ∠B) = 90° + $\frac{1}{2}$∠B。
在△APC中，根据三角形内角和为180°，有：
∠P + ∠PAC + ∠PCA = 180°，
已知∠P=70°，代入得：
70° + 90° + $\frac{1}{2}$∠B = 180°，
化简得：$\frac{1}{2}$∠B = 20°，
所以∠B = 40°。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角性质，角平分线定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形外角、角平分线与内角和的综合应用，核心是推导∠B与∠P的数量关系，需熟练运用相关几何定理，难度适中。
【难度系数】
0.5

【分析】
要计算∠DAE的度数，需逐步利用三角形外角性质、平角定义和角平分线的性质求解：首先根据三角形外角性质求出∠BAC，再通过平角定义得到外角∠CAE，最后由角平分线定义算出∠DAE。
【解析】
解：
∵ ∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ ∠ACD = ∠B + ∠BAC。
已知∠B=30°，∠ACD=100°，
∴ ∠BAC = ∠ACD - ∠B = 100° - 30° = 70°。
又
∵ ∠BAC与∠CAE组成平角，平角为180°，
∴ ∠CAE = 180° - ∠BAC = 180° - 70° = 110°。
∵ AD是∠CAE的平分线，根据角平分线的定义，角平分线将角分为两个相等的部分，
∴ ∠DAE = ½∠CAE = ½×110° = 55°。
【答案】
55°
【知识点】
三角形外角性质，角平分线定义
【点评】
本题是基础几何角度计算题，核心考查三角形外角性质和角平分线的应用，解题逻辑清晰，只要掌握相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.6