解： $ (1) $证明： ∵$ AD = BE$， ∴$ AD + BD = BE + BD$，即$ AB = DE$。 $ $在$△ABC $和$△DEF $中， $ \begin {cases}\ \mathrm {AB} = DE， \\AC = DF， \\BC = EF， \end {cases}$ ∴$ △ABC ≌ △DEF$。 $ (2) $由$(1)$知，$△ABC ≌ △DEF$， ∴$ ∠A = ∠FDE = 55°$。 ∵$ ∠E = 45°$， ∴$ ∠F = 180° - (∠FDE + ∠E) = 180° - (55° + 45°) = 80°$。 证明：
∵ O 是 AB 的中点，
∴ OA = OB。
∵ ∠AOD = ∠BOC，
∴ ∠AOD + ∠DOC = ∠BOC + ∠DOC，即 ∠AOC = ∠BOD。
在△AOC 和△BOD 中，
$\begin{cases} OA = OB, \\ ∠AOC = ∠BOD, \\ OC = OD, \end{cases}$
∴ △AOC ≌ △BOD。
∴ AC = BD。
证明：
在△ABE 和△ACE 中，
$\begin{cases} AB = AC, \\ AE = AE, \\ BE = CE, \end{cases}$
∴ △ABE ≌ △ACE。
∴ ∠BAE = ∠CAE。
在△ABD 和△ACD 中，
$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠BAD = ∠CAD, \\ AD = AD, \end{cases}$
∴ △ABD ≌ △ACD。
∴ BD = CD。
证明：
∵ ∠BCE = ∠ACD，
∴ ∠BCE + ∠ECA = ∠ACD + ∠ECA，即 ∠BCA = ∠ECD。
在△BCA 和△ECD 中，
$\begin{cases} BC = EC, \\ ∠BCA = ∠ECD, \\ CA = CD, \end{cases}$
∴ △BCA ≌ △ECD。
∴ AB = DE。
【分析】
要解决本题，第(1)问需先通过线段和的关系将已知的AD=BE转化为AB=DE，再结合已知的两组边相等，用SSS判定定理证明三角形全等；第(2)问利用全等三角形对应角相等得到∠FDE的度数，再结合三角形内角和定理计算∠F的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD = BE（已知），
∴ AD + BD = BE + BD（等式的性质），
即 AB = DE。
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases}AB = DE, \\AC = DF, \\BC = EF,\end{cases}$
∴ △ABC ≌ △DEF（SSS）。
(2) 解：
由(1)知△ABC ≌ △DEF，
∴ ∠FDE = ∠A = 55°（全等三角形对应角相等）。
在△DEF中，根据三角形内角和为180°，
∠F = 180° - ∠FDE - ∠E = 180° - 55° - 45° = 80°。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ∠F的度数为80°。
【知识点】
全等三角形的判定（SSS）、三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形的基础应用，通过线段转化得到全等条件，再利用全等性质和三角形内角和计算角度，属于基础题型，考查学生对核心知识点的掌握情况。
【难度系数】
0.6
【分析】要证明线段AC=BD，可利用全等三角形的性质，证明AC、BD所在的△AOC与△BOD全等。已知O是AB中点，可得OA=OB；结合已知∠AOD=∠BOC，通过角的和差关系可推导出两组边的夹角∠AOC=∠BOD，结合OC=OD，满足全等三角形的SAS判定条件，进而证明三角形全等，即可得到AC=BD。
【解析】
∵ O是AB的中点，
∴ OA=OB。
∵ ∠AOD=∠BOC，
∴ ∠AOD + ∠DOC = ∠BOC + ∠DOC，即∠AOC=∠BOD。
在△AOC和△BOD中，
$\begin{cases}OA=OB, \\∠AOC=∠BOD, \\OC=OD,\end{cases}$
∴ △AOC ≌ △BOD（SAS）。
∴ AC=BD。
【答案】
证明：
∵ O是AB的中点，
∴ OA=OB。
∵ ∠AOD=∠BOC，
∴ ∠AOD+∠DOC=∠BOC+∠DOC，即∠AOC=∠BOD。在△AOC和△BOD中，$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOC=∠BOD, \\ OC=OD, \end{cases}$
∴ △AOC≌△BOD。
∴ AC=BD。
【知识点】
全等三角形判定（SAS）、全等三角形性质、线段中点性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用，属于常规几何证明题，重点考查学生对SAS判定定理的掌握，解题思路清晰，步骤明确，是几何证明的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
【分析】要证明$BD=CD$，需先证明$AD$平分$∠ BAC$，再利用等腰三角形或全等三角形的性质推导结论。已知$AB=AC$、$EB=EC$，结合公共边$AE$，可通过SSS证明$△ ABE ≌ △ ACE$，得到$∠ BAD=∠ CAD$；再利用$AB=AC$、$∠ BAD=∠ CAD$、公共边$AD$，通过SAS证明$△ ABD ≌ △ ACD$，即可得出$BD=CD$。
【解析】在$△ ABE$和$△ ACE$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC, \\AE=AE, \\BE=CE,\end{array} $
$\therefore △ ABE ≌ △ ACE$（SSS），
$\therefore ∠ BAE=∠ CAE$，即$∠ BAD=∠ CAD$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC, \\∠ BAD=∠ CAD, \\AD=AD,\end{array} $
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD$（SAS），
$\therefore BD=CD$。
【答案】$BD=CD$
【知识点】全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】本题是几何证明的基础题型，通过两次全等三角形的判定与性质推导线段相等，考查学生对全等三角形判定定理的掌握和应用能力，思路清晰，步骤明确。
【难度系数】0.6
【分析】
要证明AB=DE，可利用全等三角形的性质，证明AB和DE所在的△BCA与△ECD全等。题目已给出两组边相等（CA=CD，BC=EC），需推导这两组边的夹角相等，结合已知的∠BCE=∠ACD，通过角的和差关系即可得到相等夹角，再用SAS判定全等，进而得出AB=DE。
【解析】
∵ ∠BCE=∠ACD，
∴ ∠BCE + ∠ECA = ∠ACD + ∠ECA，
即∠BCA = ∠ECD。
在△BCA和△ECD中，
$\begin{cases} BC=EC, \\ ∠BCA=∠ECD, \\ CA=CD, \end{cases}$
∴ △BCA ≌ △ECD（SAS），
∴ AB = DE。
【答案】
$\because ∠ BCE=∠ ACD,\therefore ∠ BCE+∠ ECA=∠ ACD+∠ ECA$,即$∠ BCA=∠ ECD$. 在$△ BCA$ 和$△ ECD$ 中,$\begin{cases} BC=EC, \\ ∠ BCA=∠ ECD, \\ CA=CD, \end{cases}$$\therefore △ BCA≌△ ECD.\therefore AB=DE$
【知识点】
全等三角形的判定（SAS）、全等三角形的性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质，通过角的和差关系推导相等角，利用SAS证明三角形全等是解题关键，属于基础几何证明题，思路清晰易掌握。
【难度系数】
0.7
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