证明：
解法一：如图，分别过点 $A,B$ 作 $DC$ 的垂线，垂足为 $E,F。$
$\because AB// DC, AE⊥ DC, BF⊥ DC，$
$\therefore AE=BF。$
在$\mathrm{Rt}△ ADE$ 和 $\mathrm{Rt}△ BCF$ 中，
$\begin{cases} AD=BC,\\ AE=BF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ BCF。$
$\therefore ∠ DAE=∠ CBF。$
$\because AE⊥ DC, AB// DC，$
$\therefore AE⊥ AB。$
同理，可得 $BF⊥ AB。$
$\therefore ∠ EAB=∠ FBA=90°。$
$\therefore ∠ DAE+∠ EAB=∠ CBF+∠ FBA，$即$∠ DAB=∠ CBA。$
解法二：$\because AB// DC, AB≠ DC, AD=BC，$
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是等腰梯形。
$\therefore ∠ DAB=∠ CBA$（等腰梯形同一底上的两个角相等）。
解：$BE⊥ AC，$理由如下：
$\because AD$ 是 $△ ABC$ 的高，
$\therefore ∠ BDF=∠ ADC=90°。$
在$\mathrm{Rt}△ BDF$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中，
$\begin{cases} BF=AC,\\ FD=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDF≌\mathrm{Rt}△ ADC。$
$\therefore ∠ DBF=∠ DAC。$
$\because ∠ DAC+∠ C=∠ BDF=90°，$
$\therefore ∠ AEB=∠ DBF+∠ C=90°。$
$\therefore BE⊥ AC。$
证明：
(1) $\because AD$ 是 $△ ABC$ 的中线，
$\therefore BD=CD。$
$\because BE⊥ AD, CF⊥ AD，$
$\therefore ∠ BED=∠ F=90°。$
在$△ BED$ 和 $△ CFD$ 中，
$\begin{cases} ∠ BED=∠ F,\\ ∠ BDE=∠ CDF,\\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ BED≌△ CFD。$
$\therefore BE=CF。$
(2) 在$\mathrm{Rt}△ BGE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CAF$ 中，
$\begin{cases} BG=CA,\\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BGE≌\mathrm{Rt}△ CAF。$
$\therefore GE=AF。$
$\therefore GE-AE=AF-AE，$即 $AG=EF。$
$\because △ BED≌△ CFD，$
$\therefore DE=DF。$
$\because EF=DE+DF=2DE，$
$\therefore AG=2DE。$
【分析】要找出图中全等三角形，需结合已知条件AB=AC、CD⊥AB、BE⊥AC，利用全等三角形的判定定理，依次推导对应边、角相等，逐步找出所有全等的三角形，统计对数即可。
【解析】
1. 证明△ABE≌△ACD：
∵ CD⊥AB，BE⊥AC，
∴ ∠AEB=∠ADC=90°，
在△ABE和△ACD中：
$\{\begin{array}{l} ∠AEB=∠ADC \\ ∠BAE=∠CAD \\ AB=AC \end{array} $
∴ △ABE≌△ACD（AAS）。
2. 证明△ADF≌△AEF：
由△ABE≌△ACD得AD=AE，
在Rt△ADF和Rt△AEF中：
$\{\begin{array}{l} AD=AE \\ AF=AF \end{array} $
∴ Rt△ADF≌Rt△AEF（HL）。
3. 证明△BDF≌△CEF：
∵ AB=AC，AD=AE，
∴ AB-AD=AC-AE，即BD=CE，
在△BDF和△CEF中：
$\{\begin{array}{l} ∠BDF=∠CEF \\ ∠BFD=∠CFE \\ BD=CE \end{array} $
∴ △BDF≌△CEF（AAS）。
4. 证明△ABF≌△ACF：
由△BDF≌△CEF得BF=CF，
在△ABF和△ACF中：
$\{\begin{array}{l} AB=AC \\ AF=AF \\ BF=CF \end{array} $
∴ △ABF≌△ACF（SSS）。
综上，全等的三角形共有4对。
【答案】D
【知识点】全等三角形判定、直角三角形全等判定
【点评】本题需结合垂直条件、公共角、对顶角等，逐步推导对应边和角相等，找出所有全等三角形，考查全等判定定理的综合应用。
【难度系数】0.5
【分析】
要解决本题，首先利用邻补角的性质求出∠CFD的度数，再通过直角三角形全等的HL定理证明Rt△BDE与Rt△CFD全等，得到对应角相等，最后结合DF⊥BC的直角关系，计算出∠EDF的度数。具体步骤为：1. 根据邻补角定义算出∠CFD；2. 用HL判定两个直角三角形全等；3. 利用全等三角形对应角相等得到∠BDE，再结合直角∠FDB求出∠EDF。
【解析】
∵ DE⊥AB，DF⊥BC，
∴ ∠DEB = ∠FDC = ∠FDB = 90°（垂直的定义）。
∵ ∠AFD = 145°，且∠AFD + ∠CFD = 180°（邻补角的定义），
∴ ∠CFD = 180° - 145° = 35°。
在Rt△BDE和Rt△CFD中，
$\{\begin{array}{l} BD = CF, \\ BE = CD, \end{array} $
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CFD（HL，直角三角形全等判定定理）。
∴ ∠BDE = ∠CFD = 35°（全等三角形的对应角相等）。
又
∵ ∠FDB = 90°，即∠BDE + ∠EDF = 90°，
∴ ∠EDF = 90° - ∠BDE = 90° - 35° = 55°。
【答案】
55°
【知识点】
直角三角形全等判定；邻补角性质；角度计算
【点评】
本题是基础几何题，核心考查直角三角形全等的HL定理、邻补角性质及角度计算，解题关键是通过HL证明三角形全等得到对应角，再结合直角关系推导目标角，整体难度适中，适合初中学生巩固几何基础。
【难度系数】
0.5
【分析】要计算DE的长度，可通过构造辅助线BE，利用直角三角形全等的判定定理推导。观察图形可知，△ABE和△DBE均为直角三角形，已知AB=BD，且BE为公共斜边，因此可通过HL定理证明两三角形全等，进而得到DE与AE的等量关系，从而求出DE的长。
【解析】连接BE。
∵ ED⊥BC，
∴ ∠EDB=90°，又
∵ △ABC是直角三角形，∠A=90°，
∴ △ABE和△DBE都是直角三角形。
在Rt△ABE和Rt△DBE中，
$\{\begin{array}{l}AB=BD \\BE=BE\end{array} $
∴ Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），
∴ DE=AE。
已知AE=12 cm，因此DE=12 cm。
【答案】12
【知识点】直角三角形全等判定；全等三角形性质
【点评】本题考查直角三角形全等的判定与性质，核心是通过公共斜边构造全等三角形，属于基础几何题，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】0.6
【分析】要证明∠DAB=∠CBA，已知AB//DC且AD=BC，AB＜DC，可知四边形ABCD是等腰梯形。可通过两种思路：一是作梯形的高，构造直角三角形，利用HL证明全等，结合直角相等推导目标角；二是直接利用等腰梯形同一底上的角相等的性质。 【解析】 解法一：如图，分别过点A、B作DC的垂线，垂足为E、F。 ∵ AB//DC，AE⊥DC，BF⊥DC， ∴ AE=BF（平行线间的距离相等）。 在Rt△ADE和Rt△BCF中， $\begin{cases}AD=BC,\\AE=BF,\end{cases}$ ∴ Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）， ∴ ∠DAE=∠CBF。 ∵ AE⊥DC，AB//DC， ∴ AE⊥AB，即∠EAB=90°，同理可得∠FBA=90°， ∴ ∠DAE+∠EAB=∠CBF+∠FBA，即∠DAB=∠CBA。 解法二： ∵ AB//DC，AB≠DC，AD=BC， ∴ 四边形ABCD是等腰梯形， ∴ ∠DAB=∠CBA（等腰梯形同一底上的两个角相等）。 【答案】10. 解法一:如图,分别过点 A,B 作 DC 的垂线,垂足为 E,F. ∵ AB// DC,AE⊥ DC,BF⊥ DC, ∴ AE=BF. 在 Rt△ADE 和 Rt△BCF 中, $\begin{cases}AD=BC,\\AE=BF,\end{cases}$ ∴ Rt△ADE≌Rt△BCF. ∴ ∠DAE=∠CBF. ∵ AE⊥ DC,AB// DC, ∴ AE⊥ AB. 同理,可得 BF⊥ AB. ∴ ∠EAB=∠FBA=90°. ∴ ∠DAE+∠EAB=∠CBF+∠FBA,即 ∠DAB=∠CBA；解法二: ∵ AB// DC,AB≠ DC,AD=BC, ∴ 四边形 ABCD 是等腰梯形. ∴ ∠DAB=∠CBA(等腰梯形同一底上的两个角相等)  【知识点】等腰梯形性质、全等三角形判定 【点评】本题为一题多解的几何证明题，既可以通过作辅助线构造全等三角形推导结论，也可直接运用等腰梯形的性质，考察了梯形的分类及全等三角形的应用，能帮助学生巩固几何知识，拓展解题思路。 【难度系数】0.6
【分析】要判断BE与AC的位置关系，先根据AD是高得到两个直角，再利用已知的斜边和直角边条件，通过直角三角形全等的HL判定定理证明两个直角三角形全等，得到对应角相等，最后结合直角三角形两锐角互余的性质，转换角的关系推出BE与AC垂直。
【解析】
∵AD是△ABC的高，
∴∠BDF=∠ADC=90°，即△BDF和△ADC均为直角三角形。在Rt△BDF和Rt△ADC中，$\begin{cases} BF=AC \\ FD=CD \end{cases}$，根据直角三角形全等的HL判定定理，可得Rt△BDF≌Rt△ADC。
∴∠DBF=∠DAC。又
∵在Rt△ADC中，∠DAC + ∠C = 90°，
∴∠DBF + ∠C = 90°。在△BEC中，∠BEC = 180° - (∠DBF + ∠C) = 90°，
∴BE⊥AC。
【答案】BE⊥AC
【知识点】直角三角形全等判定（HL），垂直的判定，直角三角形性质
【点评】本题为易错题，核心考查直角三角形全等的应用及垂直关系的推导，关键是利用HL证全等，再通过角的转换得到垂直，需注意对应角的关系，避免混淆。
【难度系数】0.5
【分析】
第(1)问要证BE=CF，观察图形可知BE、CF分别在△BED和△CFD中，结合AD是中线得BD=CD，再由BE⊥AD、CF⊥AD得两个直角相等，还有对顶角∠BDE=∠CDF，可通过AAS证明两三角形全等，从而得到BE=CF；第(2)问要证AG=2DE，先利用(1)的结论BE=CF，结合已知BG=CA，通过HL证明Rt△BGE≌Rt△CAF，得到GE=AF，推出AG=EF，再由△BED≌△CFD得DE=DF，进而得到EF=2DE，即可证得AG=2DE。
【解析】
(1) 证明：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED=∠F=90°。
在△BED和△CFD中，
$\begin{cases}∠BED=∠F, \\∠BDE=∠CDF, \\BD=CD,\end{cases}$
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴BE=CF。
(2) 证明：由(1)知BE=CF，
在Rt△BGE和Rt△CAF中，
$\begin{cases}BG=CA, \\BE=CF,\end{cases}$
∴Rt△BGE≌Rt△CAF（HL），
∴GE=AF。
∴GE - AE = AF - AE，即AG=EF。
∵△BED≌△CFD，
∴DE=DF，
∴EF=DE + DF=2DE，
∴AG=2DE。
【答案】
(1) BE=CF的证明见解析；(2) AG=2DE的证明见解析。
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、直角三角形全等的判定
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质，需熟练掌握AAS、HL等判定定理，利用中线、垂直的条件构造全等三角形，理清线段间的等量关系是解题关键。
【难度系数】
0.6
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