第34页 - 通成学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

D

C

答案不唯一，

如$AB=AC$

$70°$

 解：$CB=DA，$理由如下：

 由题意，知 $AC=BD。$

 $\because CB⊥ AB, DA⊥ AB，$

 $\therefore ∠ DAB=∠ CBA=90°。$

 在$\mathrm{Rt}△ DAB$ 和 $\mathrm{Rt}△ CBA$ 中，

 $\begin{cases} BD=AC,\\ AB=BA, \end{cases}$

 $\therefore \mathrm{Rt}△ DAB≌\mathrm{Rt}△ CBA。$

 $\therefore CB=DA。$

C

【分析】要判断两个直角三角形全等，需结合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）及直角三角形特有的HL定理，逐个分析选项：A选项仅一锐角相等，缺少边的条件；B选项两锐角相等仅能判定相似，无法全等；C选项仅一条边相等，条件不足；D选项两条边相等，可通过SAS或HL判定全等。
【解析】直角三角形全等的判定依据为一般三角形全等判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）和HL定理（斜边、直角边）。对各选项分析如下：
A选项：一锐角对应相等，加上直角相等，仅两个角对应相等，无边的条件，无法判定两个直角三角形全等，排除；
B选项：两锐角对应相等，加上直角相等，三个角对应相等，只能判定三角形相似，不能判定全等，排除；
C选项：一条边对应相等，仅一个边和直角相等，缺少其他边或角的条件，无法判定全等，排除；
D选项：两条边对应相等，若为两条直角边，可利用SAS判定全等；若为一条直角边和斜边，可利用HL判定全等，因此能使两个直角三角形全等，正确。
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定；三角形全等的判定定理
【点评】本题考查直角三角形全等的判定，需熟练掌握全等三角形的判定规则，逐一分析选项即可得出结论，属于基础题型。
【难度系数】0.5

【分析】
要解决本题，需先明确直角三角形全等的“HL”判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。本题中两个直角三角形Rt△ABC和Rt△A'B'C'的直角顶点分别为C、C'，因此它们的斜边是AB、A'B'，直角边是AC、BC和A'C'、B'C'，需逐一分析选项是否符合“斜边+一条直角边对应相等”的HL条件。
【解析】
根据“HL”判定定理，直角三角形全等需满足斜边和一条直角边对应相等：
选项A：AC=A'C'、BC=B'C'是两条直角边对应相等，符合SAS判定，不符合HL，排除；
选项B：∠A=∠A'、AB=A'B'是一组锐角和斜边对应相等，符合AAS判定，不符合HL，排除；
选项C：AB=A'B'（斜边对应相等），AC=A'C'（直角边对应相等），完全符合HL的条件，正确；
选项D：∠B=∠B'、BC=B'C'是一组锐角和直角边对应相等，符合ASA判定，不符合HL，排除。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形全等的HL判定；全等三角形的判定
【点评】
本题考查直角三角形特有的全等判定方法“HL”，核心是牢记HL的条件为“斜边+一条直角边对应相等”，需区分普通三角形全等判定与直角三角形的特殊判定，避免混淆不同判定定理的适用条件。
【难度系数】
0.5

【分析】要判定△ABD≌△ACD，已知AD⊥BC，可得∠ADB=∠ADC=90°，AD是两个三角形的公共边。根据全等三角形的判定定理，对于直角三角形，可通过HL（斜边直角边）、SAS等判定，添加合适的条件即可完成证明，例如添加AB=AC，利用HL定理就能证明两个直角三角形全等。
【解析】
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。在Rt△ABD和Rt△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\AD=AD\end{array} $
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）。
【答案】AB=AC（答案不唯一，如BD=CD、∠B=∠C等均可）
【知识点】全等三角形的判定；直角三角形全等的判定
【点评】本题考查全等三角形判定定理的应用，属于基础题型，需熟练掌握全等三角形的判定方法，尤其是直角三角形的HL判定。
【难度系数】0.6

【分析】
要计算∠BCD的度数，观察图形可知△ADC和△ABC均为直角三角形，且共享斜边AC，结合已知条件CD=CB，可通过HL定理证明两直角三角形全等，得到对应角∠DCA=∠BCA；再在Rt△ABC中利用直角三角形两锐角互余求出∠BCA，进而推导得出∠BCD的度数。
【解析】
∵ ∠D=∠B=90°，
∴ △ADC和△ABC都是直角三角形。
在Rt△ADC和Rt△ABC中，
$\{\begin{array}{l} CD=CB \\ AC=AC \end{array} $
∴ Rt△ADC≌Rt△ABC（HL），
∴ ∠DCA=∠BCA。
在Rt△ABC中，∠BAC=55°，∠B=90°，
∴ ∠BCA=90°−55°=35°，
∴ ∠BCD=∠DCA+∠BCA=35°+35°=70°。
【答案】
70°
【知识点】
直角三角形全等判定，角的计算
【点评】
本题考查直角三角形全等的HL定理及角度计算，属于基础几何题，需熟练掌握全等三角形的判定与性质来解题。
【难度系数】
0.6

【分析】
要判断CB与DA是否相等，首先根据“速度相同、同时出发同时到达”的条件，可得AC和BD长度相等；再结合垂直条件确定两个三角形为直角三角形，利用直角三角形全等的判定定理证明三角形全等，进而得到对应边相等。
【解析】
由题意，小明和小芳速度相同，且同时从A、B出发到达C、D，因此AC=BD。
因为DA⊥AB，CB⊥AB，所以∠DAB=∠CBA=90°，即△DAB和△CBA都是直角三角形。
在Rt△DAB和Rt△CBA中，
$\begin{cases} BD=AC \\ AB=BA \end{cases}$
根据直角三角形全等的HL判定定理，可得Rt△DAB≌Rt△CBA。
由全等三角形的对应边相等，因此CB=DA。
【答案】
CB与DA相等。
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题结合行程问题的等量关系，运用直角三角形全等的判定（HL）证明三角形全等，进而推导线段相等，考查了几何知识与实际条件的结合应用，难度适中。
【难度系数】
0.6

【分析】
要判断各选项是否正确，需依据全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）及直角三角形的特性，逐一分析：
1. 选项A：仅两个锐角对应相等的直角三角形是相似三角形，无对应边相等，不满足全等条件，错误。
2. 选项B：面积相等的直角三角形，仅说明直角边乘积相等，边长不一定对应相等，无法判定全等，错误。
3. 选项C：直角三角形已有直角相等，结合“一条边和一个锐角对应相等”，可通过AAS或ASA判定全等，正确。
4. 选项D：一条边相等的等腰直角三角形，若一个的直角边等于另一个的斜边，边长不对应，无法判定全等，错误。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：两个锐角对应相等的直角三角形，仅满足角相似，无对应边相等，不符合全等判定，结论错误。
选项B：面积相等的直角三角形，仅说明两直角边乘积相等，边长不一定对应相等，无法判定全等，结论错误。
选项C：直角三角形的直角已相等，结合“一条边和一个锐角对应相等”，根据AAS或ASA判定定理，可推出两个三角形全等，结论正确。
选项D：一条边相等的等腰直角三角形，若一个的直角边与另一个的斜边相等，边长不对应，无法判定全等，结论错误。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形全等判定，全等三角形判定定理
【点评】
本题考查直角三角形全等的判定，需准确区分相似与全等的条件，牢记全等三角形的判定定理，避免忽略边的对应关系而误判。
【难度系数】
0.6