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$10°$或$55°$
解：如图，
​$① $​以点​$C$​为圆心，适当长为半径作弧，分别交​$AC$​，​$BC$​于点​$D$​，​$E$​；
​$② $​分别以点​$D$​，​$E$​为圆心，适当长为半径作弧，两弧相交于点​$P$​，作射线​$CP$​，
则​$∠ACP$​或​$∠BCP$​就是所求作的​$45°$​角。
证明：连接​$PD$​，​$PE$​。
由作图知，​$PD=PE$​，​$CD=CE$​，
又∵​$CP=CP$​，
∴​$△ CDP ≌ △ CEP$​。
∴​$∠ DCP = ∠ ECP$​。
又∵​$∠ ACB = 90°$​，
∴​$∠ DCP = ∠ ECP = \frac {90°}{2} = 45°$​。

证明：
​$ (1) $​∵​$AD$​是​$△ ABC$​的中线，
∴​$BD=CD$​。
​$ $​在​$△ ABD$​和​$△ ACD$​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {AB}=AC， \\AD=AD， \\BD=CD， \end {cases}$​
∴​$△ ABD ≌ △ ACD$​。
∴​$∠ BAD = ∠ CAD$​，即​$∠ EAD = ∠ FAD$​。
由作图知，​$AE=AF$​。
​$ $​在​$△ ADE$​和​$△ ADF$​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {AE}=AF， \\∠ EAD = ∠ FAD， \\AD=AD， \end {cases}$​
∴​$△ ADE ≌ △ ADF$​。
​$ (2) $​由​$(1)$​，得​$△ ADE ≌ △ ADF$​，
∴​$ED=FD$​。
∵​$AB=AC$​，​$AE=AF$​，
∴​$AB-AE = AC-AF$​，即​$BE=CF$​。
​$ $​在​$△ BDE$​和​$△ CDF$​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {DE}=DF， \\BE=CF， \\BD=CD， \end {cases}$​
∴​$△ BDE ≌ △ CDF$​。
解：
​$ (1) $​如图，​$AD$​即为所求作。
​$ (2) $​点​$E$​，​$F$​到直线​$AB$​的距离相等。
理由：如图，过点​$E$​作​$EH ⊥ AB$​于点​$H$​，过点​$F$​作​$FG ⊥ AB$​于点​$G$​，
则​$∠ AGF = ∠ BHE = 90°$​。
∵​$AD // BC$​，
∴​$∠ FAG = ∠ EBH$​。
​$ $​在​$△ AFG$​和​$△ BEH$​中，
​$ \begin {cases} ∠ AGF = ∠ BHE， \\∠ FAG = ∠ EBH， \\AF=BE， \end {cases}$​
∴​$△ AFG ≌ △ BEH$​。
∴​$FG=EH$​。
∴点​$E$​，​$F$​到直线​$AB$​的距离相等。

【分析】首先根据尺规作一个角等于已知角的原理，可得∠FPC'=∠AOB=45°；由于∠EPF=65°，射线PC'的位置有两种可能（在∠EPF内部或外部），需分类讨论，再结合角平分线的定义计算∠C'PG的度数。
【解析】由尺规作图可知，∠FPC' = ∠AOB = 45°，分两种情况：
1. 当射线PC'在∠EPF内部时，如图①：
∠EPC' = ∠EPF - ∠FPC' = 65° - 45° = 20°，
∵PG平分∠EPC'，
∴∠C'PG = $\frac{1}{2}$∠EPC' = $\frac{1}{2}$×20° = 10°；
2. 当射线PC'在∠EPF外部时，如图②：
∠EPC' = ∠EPF + ∠FPC' = 65° + 45° = 110°，
∵PG平分∠EPC'，
∴∠C'PG = $\frac{1}{2}$∠EPC' = $\frac{1}{2}$×110° = 55°；
综上，∠C'PG的度数为10°或55°。
【答案】10°或55°
【知识点】尺规作图、角平分线、分类讨论思想
【点评】本题结合尺规作图的性质，运用分类讨论思想分析射线的位置，再利用角平分线的定义求解角度，重点考查学生的分类思维和几何运算能力，需注意避免漏解。
【难度系数】0.5
【分析】要得到45°角，已知原三角尺的直角∠ACB=90°，因此需将直角∠ACB平分。尺规作角平分线的方法是：以角顶点为圆心画弧交两边于两点，再分别以这两点为圆心画弧，两弧交点与顶点的连线即为角平分线，这样就能把90°角分成两个相等的角，每个角为45°。
【解析】作法：
① 以点$C$为圆心，适当长为半径作弧，分别交$AC$、$BC$于点$D$、$E$；
② 分别以点$D$、$E$为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧，两弧在$∠ACB$内部交于点$P$；
③ 作射线$CP$，则$∠ACP$（或$∠BCP$）就是所求作的$45°$角。
正确性说明：连接$PD$、$PE$，由作图得$CD=CE$，$PD=PE$，又$CP=CP$，故$△ CDP≌△ CEP$（SSS），因此$∠DCP=∠ECP$。因为$∠ACB=90°$，所以$∠DCP=∠ECP=\frac{1}{2}×90°=45°$，符合要求。
【答案】作出的$∠ACP$或$∠BCP$为$45°$，对应作图如参考图（射线$CP$）。
【知识点】尺规作角平分线、全等三角形判定、角的和差
【点评】本题考查尺规作角平分线的基本作图，结合全等三角形的性质证明所作角为45°，是基础作图与几何证明结合的典型题，需掌握尺规作角平分线的步骤及全等判定的应用。
【难度系数】0.5
【分析】
要证明△ADE≌△ADF，需结合等腰三角形的性质和作图得到的线段相等，寻找全等的条件；证明△BDE≌△CDF，可利用第一问的结论，结合等腰三角形中线的性质推导边相等，再用全等判定定理。首先，AB=AC，AD是中线，根据等腰三角形三线合一，AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD；作图得AE=AF，加上公共边AD，可证第一问全等。接着，由第一问全等得DE=DF，再由AB=AC、AE=AF推出BE=CF，结合AD是中线得BD=CD，即可证第二问全等。
【解析】
(1) 证明△ADE≌△ADF：
∵ AD是△ABC的中线，AB=AC，
∴ 根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD。
由作图可知，以A为圆心、AD为半径画弧，得AE=AF。
在△ADE和△ADF中：
$\begin{cases}AE = AF, \\∠EAD = ∠FAD, \\AD = AD,\end{cases}$
∴ △ADE ≌ △ADF（SAS）。
(2) 证明△BDE≌△CDF：
由(1)中△ADE≌△ADF，可得对应边相等，即DE=DF。
∵ AB=AC，AE=AF，
∴ AB - AE = AC - AF，即BE=CF。
又
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD=CD。
在△BDE和△CDF中：
$\begin{cases}DE = DF, \\BE = CF, \\BD = CD,\end{cases}$
∴ △BDE ≌ △CDF（SSS）。
【答案】
(1) △ADE ≌ △ADF；(2) △BDE ≌ △CDF
【知识点】
全等三角形判定、等腰三角形性质
【点评】
本题考查等腰三角形的三线合一性质和全等三角形的判定定理，解题时需利用等腰三角形性质推导角或边的关系，结合全等判定完成证明，属于基础几何证明题，需掌握基本几何推理方法。
【难度系数】
0.6
【分析】
第(1)问需利用尺规作平行线，核心是通过作相等的同位角得到平行关系，保证点D与C在AB异侧；第(2)问要判断点到直线的距离，需转化为垂线段长度，通过证明两个直角三角形全等推导线段相等，从而得出距离相等的结论。
【解析】
(1) 尺规作图步骤：
① 以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于两点；
② 以点A为圆心，同样长度为半径画弧，交AB于一点；
③ 以该交点为圆心，量取步骤①中弧在BC上的交点到B的长度为半径画弧，与步骤②的弧交于点D；
④ 连接AD，则AD即为所求作的平行线（满足AD//BC，D与C在AB异侧）。
(2) 证明：
过点E作EH⊥AB于点H，过点F作FG⊥AB于点G，则∠AGF=∠BHE=90°。
∵ AD//BC，
∴ ∠FAG=∠EBH。
在△AFG和△BEH中：
$\begin{cases}∠AGF=∠BHE \\∠FAG=∠EBH \\AF=BE\end{cases}$
∴ △AFG≌△BEH（AAS），
∴ FG=EH。
∵ FG是点F到直线AB的距离，EH是点E到直线AB的距离，
∴ 点E、F到直线AB的距离相等。
【答案】
10. (1) 如图，$AD$ 即为所求作
(2) 点 $E$, $F$ 到直线 $AB$ 的距离相等
理由：如图，过点 $E$ 作 $EH ⊥ AB$ 于点 $H$，过点 $F$ 作 $FG ⊥ AB$ 于点 $G$，则 $∠ AGF = ∠ BHE = 90°$. $\because AD // BC$, $\therefore ∠ FAG = ∠ EBH$. 在 $△ AFG$ 和 $△ BEH$ 中，
$\begin{cases}∠ AGF = ∠ BHE, \\∠ FAG = ∠ EBH, \\AF=BE,\end{cases}$
$\therefore △ AFG ≌ △ BEH$. $\therefore FG=EH$. $\therefore$ 点 $E$, $F$ 到直线 $AB$ 的距离相等.

【知识点】
尺规作图、全等三角形判定、点到直线的距离
【点评】
本题结合尺规作图与几何证明，考查平行线的判定、全等三角形的性质，需掌握基本作图方法和全等三角形的判定定理，是一道中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
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