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D
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解：如图，过点$P$分别作$AB,BC$的垂线，垂足分别为$E,M，$延长$EP$交$DC$于点$N。$
$\because AB// DC,PE⊥ AB，$
$\therefore PN⊥ DC。$
根据题意得$PE=PM=PN。$
$\therefore$ 点$P$在$∠ ABC,∠ DCB$的平分线上。
$\therefore ∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4。$
易得$∠ 5=∠ 6,∠ 7=∠ 8。$
$\because ∠ 5+∠ 6+∠ 7+∠ 8=180°，$
$\therefore ∠ 6+∠ 8=\frac{180°}{2}=90°，$即$∠ BPC=90°。$

​$ (1) $​证明：如图，过点​$P$​作​$PF⊥ BE$​于点​$F$​，​$PN⊥ BD$​于点​$N$​，​
$PM⊥ AC$​于点​$M$​。
∵​$CP$​平分​$∠ ACD$​，
∴​$PM=PN$​。
∵​$BP$​平分​$∠ ABC$​，
∴​$PF=PN$​。
∴​$PF=PM$​。
又∵​$PF⊥ AE，PM⊥ AC$​，
∴​$AP$​平分​$∠ CAE$​。
​$ (2) $​解：设​$∠ ACP=∠ PCD=x$​。
​$ $​由​$(1)$​知​$AP$​平分​$∠ CAE$​，
∴​$∠ FAP=∠ PAC$​。
∵​$∠ BPC=40°$​，
∴​$∠ ABP=∠ PBC=x-40°$​。
∴​$∠ BAC=∠ ACD-∠ ABC=2x-(x-40°)-(x-40°)=80°$​。
∴​$∠ CAF=180°-∠ BAC=100°$​。
∴​$∠ CAP=\frac {1}{2}∠ CAF=50°$​。

解：
(1) $\because EF⊥ AB,∠ AEF=50°，$
$\therefore ∠ FAE=90°-50°=40°。$
$\because ∠ BAD=100°，$
$\therefore ∠ CAD=180°-100°-40°=40°。$
(2) 证明：如图，过点$E$作$EG⊥ AD$于点$G，$$EH⊥ BC$于点$H。$
$\because ∠ FAE=∠ DAE=40°,EF⊥ BF,EG⊥ AD，$
$\therefore EF=EG。$
$\because BE$平分$∠ ABC,EF⊥ BF,EH⊥ BC，$
$\therefore EF=EH。$
$\therefore EH=EG。$
$\because EG⊥ AD,EH⊥ BC，$
$\therefore DE$平分$∠ ADC。$
(3) $\because S_{△ ACD}=15，$
$\therefore \frac{1}{2}AD· EG+\frac{1}{2}CD· EH=15，$即$\frac{1}{2}×4× EG+\frac{1}{2}×8× EH=15。$
$\therefore EG=EH=\frac{5}{2}。$
$\therefore EF=EH=\frac{5}{2}。$
$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AB· EF=\frac{1}{2}×7×\frac{5}{2}=\frac{35}{4}。$

【分析】
要判断点P的位置，需依据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。分别分析点P到各角两边的距离，对应判断是否在各角的平分线上，进而确定结论的正确性。
【解析】
根据角平分线的判定定理：
1. 点P到BE、BD的距离相等，因此点P在∠B的平分线上，故①正确；
2. 点P到BD、AC的距离相等，因此点P在∠DAC的平分线上，故②正确；
3. 点P到BE、AC的距离相等，因此点P在∠ECA的平分线上，故③正确；
4. 由①②③可知，点P是∠B、∠DAC、∠ECA的平分线的交点，故④正确。
综上，四个结论均正确，正确的个数为4。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题考查角平分线判定定理的应用，核心是掌握“角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”这一判定方法，依次分析各角即可得出结论，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.3
【分析】
要解决这个问题，首先明确：到三角形三边距离相等的点是三角形的内心（角平分线的交点），该点到三边的距离就是三角形内切圆的半径。我们可以通过面积法求解：△ABC的面积既可以用直角三角形面积公式直接计算，也可以拆分为三个以内心到三边距离为高、三角形三边为底的小三角形面积之和，利用面积相等建立等式即可求出距离。
【解析】
设点P到△ABC三边的距离为$ r \, \mathrm{cm} $。
1. 计算△ABC的面积：因为∠ABC=90°，根据直角三角形面积公式，$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 8 × 15 = 60 \, \mathrm{cm}^2 $。
2. 拆分△ABC的面积：点P到三边距离均为$ r $，因此△ABC可分为△ABP、△BCP、△ACP三个小三角形，它们的面积和为：
$ S_{△ ABP} + S_{△ BCP} + S_{△ ACP} = \frac{1}{2} × AB × r + \frac{1}{2} × BC × r + \frac{1}{2} × AC × r $
提取公因式化简得：$ \frac{1}{2} × r × (AB + BC + AC) $
代入三边长度计算：$ \frac{1}{2} × r × (8 + 15 + 17) = \frac{1}{2} × r × 40 = 20r $。
3. 求解距离：因为△ABC的面积等于三个小三角形面积之和，所以$ 20r = 60 $，解得$ r = 3 $。
【答案】
3
【知识点】
三角形内心、内切圆半径、三角形面积公式
【点评】
本题考查三角形内心的性质及内切圆半径的计算，通过面积拆分法建立等式求解，是三角形相关计算的基础题型，思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
【分析】
要计算∠BPC的度数，需结合角平分线的判定和平行线的性质推导。首先过点P作AB的垂线，由AB//CD可得该垂线也垂直CD；根据点P到AB、BC、CD的距离相等，依据“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，可知P是∠ABC和∠DCB的角平分线的交点；再利用AB//CD时同旁内角互补，得到∠ABC与∠DCB的和为180°，进而推出∠PBC + ∠PCB = 90°，最后在△BPC中结合三角形内角和为180°，即可求出∠BPC的度数。
【解析】
如图，过点P分别作AB的垂线，垂足为E，作BC的垂线，垂足为M，延长EP交DC于点N。
∵ AB//DC，PE⊥AB，
∴ PN⊥DC（如果一条直线垂直于一组平行线中的一条，那么它也垂直于另一条）。
由题意知，点P到AB、BC、CD的距离相等，即PE=PM=PN，
根据“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，可得：
点P在∠ABC的平分线上，即∠1=∠2；
点P在∠DCB的平分线上，即∠3=∠4。
∵ AB//DC，
∴ ∠ABC + ∠DCB = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠2 + ∠3 = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠DCB) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°。
在△BPC中，∠BPC + ∠2 + ∠3 = 180°（三角形内角和为180°），
∴ ∠BPC = 180° - (∠2 + ∠3) = 180° - 90° = 90°。
【答案】

【知识点】
角平分线的判定、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查角平分线的判定、平行线的性质及三角形内角和定理，通过作辅助线构造垂线是解题关键，需熟练运用几何性质推导角度关系，难度中等。
【难度系数】
0.5
【分析】
要证明AP平分∠CAE，需利用角平分线的性质与判定，通过过点P作三条垂线，结合BP、CP分别为角平分线，得到垂线段相等，进而推出AP是角平分线；求∠CAP时，利用三角形外角性质设未知数，结合已知∠BPC=40°，通过角度等量代换计算结果。
【解析】
(1) 证明：过点$P$作$PF⊥BE$于点$F$，$PM⊥AC$于点$M$，$PN⊥BD$于点$N$。
∵ $CP$平分$∠ACD$，$PM⊥AC$，$PN⊥BD$，根据角平分线的性质，得$PM=PN$。
∵ $BP$平分$∠ABC$，$PF⊥BE$，$PN⊥BD$，同理得$PF=PN$。
∴ $PF=PM$。
又
∵ $PF⊥AE$，$PM⊥AC$，根据角平分线的判定定理，可得$AP$平分$∠CAE$。
(2) 解：设$∠ABP=∠PBC=y$，$∠ACP=∠PCD=x$。
在$△BPC$中，$∠PCD$是外角，故$∠PCD=∠PBC+∠BPC$，即$x=y+40°$。
在$△ABC$中，$∠ACD$是外角，故$∠ACD=∠ABC+∠BAC$，即$2x=2y+∠BAC$，得$∠BAC=2x-2y$。
∵ $∠CAE=180°-∠BAC$，
∴ $∠CAE=180°-(2x-2y)=180°-2(x-y)$。
由(1)知$AP$平分$∠CAE$，则$∠CAP=\frac{1}{2}∠CAE=\frac{1}{2}[180°-2(x-y)]=90°-(x-y)$。
代入$x-y=40°$，得$∠CAP=90°-40°=50°$。
【答案】
(1) $AP$平分$∠CAE$；(2) $∠CAP=50°$
【知识点】
角平分线的性质与判定、三角形外角性质
【点评】
本题综合考查角平分线的性质、判定及三角形外角性质，通过作辅助线转化线段关系，利用角度等量代换求解，是角平分线相关的典型变式题，需掌握辅助线作法和角度关系推导。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决本题，分三步逐步推导：
1. 求∠CAD：利用直角三角形两锐角互余算出∠FAE，再结合平角180°，减去已知的∠BAD和∠FAE，即可得到∠CAD；
2. 证DE平分∠ADC：通过作辅助线构造垂线段，利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），推出EG=EH，再根据角平分线的判定（到角两边距离相等的点在角平分线上）完成证明；
3. 求△ABE的面积：将△ACD的面积拆分为△ADE和△CDE的面积和，结合EG=EH算出EG的长度，再由EF=EG，代入三角形面积公式计算△ABE的面积。
【解析】
(1) 求∠CAD的度数：
∵ EF⊥AB，
∴ ∠F=90°，
在Rt△AEF中，∠FAE = 90° - ∠AEF = 90° - 50° = 40°，
∵ 点F、A、B共线，∠BAD=100°，
∴ ∠CAD = 180° - ∠BAD - ∠FAE = 180° - 100° - 40° = 40°；
(2) 求证：DE平分∠ADC：
过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H，
由(1)知∠FAE=∠DAE=40°，即AE平分∠FAD，
∵ EF⊥AB，EG⊥AD，根据角平分线的性质，得EF=EG，
∵ BE平分∠ABC，EF⊥AB，EH⊥BC，同理得EF=EH，
∴ EG=EH，
又
∵ EG⊥AD，EH⊥BC，根据角平分线的判定，DE平分∠ADC；
(3) 求△ABE的面积：
∵ S△ACD = S△ADE + S△CDE = 15，
∴ $\frac{1}{2}AD·EG + \frac{1}{2}CD·EH = 15$，
由(2)知EG=EH，AD=4，CD=8，代入得：
$\frac{1}{2}×4×EG + \frac{1}{2}×8×EG = 15$，
化简得：$2EG + 4EG = 15$，解得$EG=\frac{5}{2}$，
∴ EF=EG=$\frac{5}{2}$，
∴ $S_{△ABE} = \frac{1}{2}AB·EF = \frac{1}{2}×7×\frac{5}{2} = \frac{35}{4}$；
【答案】
11. (1) ∠CAD=40°；(2) 证明见解析；(3) △ABE的面积为$\frac{35}{4}$

【知识点】
角平分线的性质与判定、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查角平分线的性质与判定、三角形面积公式的应用，核心是通过作辅助线构造垂线段，利用角平分线的性质得到线段相等，进而推导角度和计算面积，是几何中档题型，需熟练掌握角平分线的相关定理。
【难度系数】
0.5
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