第42页 - 通成学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

 证明：连接BD。

 在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CBD$中，

 $\begin{cases} BD=BD, \\ AB=CB, \end{cases}$

 $\therefore \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ CBD(\mathrm{HL})。$

 $\therefore AD=CD。$

 $\because AE⊥ EF，$$CF⊥ EF，$

 $\therefore ∠ E=∠ F=90°。$

 在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，

 $\begin{cases} AD=CD, \\ AE=CF, \end{cases}$

 $\therefore \mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})。$

$2<AC<18$

$2<EF<8$

 证明：如图，过点$P$分别作$PE⊥ OA$于点$E，$$PF⊥ OB$于点$F，$

 则$∠ PEC=∠ PFD=90°。$

 $\because OM$是$∠ AOB$的平分线，$PE⊥ OA，$$PF⊥ OB，$

 $\therefore PE=PF。$

 $\because ∠ AOB=90°，$$∠ CPD=90°，$

 $\therefore ∠ PCE + ∠ PDO = 180°。$

 又$\because ∠ PDO + ∠ PDF = 180°，$

 $\therefore ∠ PCE=∠ PDF。$

 在$△ PCE$和$△ PDF$中，

 $\begin{cases} ∠ PCE=∠ PDF, \\ ∠ PEC=∠ PFD, \\ PE=PF, \end{cases}$

 $\therefore △ PCE ≌ △ PDF(\mathrm{AAS})。$

 $\therefore PC=PD。$

 证明：如图，在$EA$上截取$EF=EB，$连接$FC。$

 $\because CE⊥ AB，$

 $\therefore ∠ FEC=∠ BEC=90°。$

 在$△ CFE$和$△ CBE$中，

 $\begin{cases} EC=EC, \\ ∠ FEC=∠ BEC, \\ EF=EB, \end{cases}$

 $\therefore △ CFE ≌ △ CBE(\mathrm{SAS})。$

 $\therefore ∠ CFE=∠ B。$

 又$\because ∠ CFE + ∠ AFC=180°，$$∠ B + ∠ D=180°，$

 $\therefore ∠ AFC=∠ D。$

 $\because AC$平分$∠ BAD，$

 $\therefore ∠ FAC=∠ DAC。$

 在$△ AFC$和$△ ADC$中，

 $\begin{cases} ∠ AFC=∠ D, \\ ∠ FAC=∠ DAC, \\ AC=AC, \end{cases}$

 $\therefore △ AFC ≌ △ ADC(\mathrm{AAS})。$

 $\therefore AF=AD。$

 $\because AE=AF+EF，$

 $\therefore AE=AD+EB。$

【分析】要证明$\mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△CDF$，已知$AE=CF$，还需证明斜边$AD=CD$。结合已知$AB=BC$，$∠ BAD=∠ BCD=90°$，可通过连接辅助线$BD$，利用HL定理先证明$\mathrm{Rt}△ABD≌\mathrm{Rt}△CBD$，得到$AD=CD$；再由$AE⊥EF$、$CF⊥EF$得$∠ E=∠ F=90°$，最后用HL定理证明目标直角三角形全等。
【解析】
证明：
1. 连接$BD$，在$\mathrm{Rt}△ABD$和$\mathrm{Rt}△CBD$中，
$\begin{cases} AB=CB \\ BD=BD \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABD≌\mathrm{Rt}△CBD(\mathrm{HL})$，
$\therefore AD=CD$。
2. $\because AE⊥EF$，$CF⊥EF$，
$\therefore ∠ E=∠ F=90°$，即$\mathrm{Rt}△ADE$和$\mathrm{Rt}△CDF$都是直角三角形。
3. 在$\mathrm{Rt}△ADE$和$\mathrm{Rt}△CDF$中，
$\begin{cases} AD=CD \\ AE=CF \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△CDF(\mathrm{HL})$。
【答案】
证明过程如上，$\mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△CDF$成立。
【知识点】
直角三角形全等判定(HL)，全等三角形判定
【点评】
本题考查直角三角形全等的HL判定，核心是通过辅助线构造全等三角形得到对应边相等，步骤逻辑清晰，属于基础几何证明题，侧重对全等判定定理的应用。
【难度系数】
0.6

【分析】本题需利用三角形中线的性质，通过倍长中线法构造全等三角形，将线段AC转化为可利用三角形三边关系求解的边，进而确定AC的取值范围。
【解析】延长AD至点E，使DE=AD=5，连接BE。因为AD是BC边上的中线，所以BD=CD。在△ADC和△EDB中，AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，故△ADC≌△EDB（SAS），因此AC=BE。在△ABE中，AB=8，AE=AD+DE=10，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得AE - AB ＜ BE ＜ AE + AB，即10 - 8 ＜ BE ＜ 10 + 8，也就是2 ＜ BE ＜ 18，所以2 ＜ AC ＜ 18。
【答案】2＜AC＜18
【知识点】三角形中线性质、全等三角形判定、三角形三边关系
【点评】本题通过倍长中线构造全等三角形，将未知线段转化为可利用三边关系的边，是解决中线类问题的常用技巧，综合考查了全等三角形与三角形三边关系的应用，难度适中。
【难度系数】0.5

【分析】要确定EF的取值范围，需将EF转化为某一三角形的边，利用三角形三边关系求解。通过延长FD到H构造全等三角形，把CF转化为BH，EF转化为EH，使EH处于△BEH中，结合BE、BH的长度，用三角形三边关系即可得到EF的范围。
【解析】延长FD到点H，使DH=DF，连接BH、EH。
∵ D为BC的中点，
∴ CD=BD。
在△CDF和△BDH中：
$\{\begin{array}{l} CD=BD \\ ∠CDF=∠BDH \\ DF=DH \end{array} $
∴ △CDF≌△BDH（SAS），
∴ BH=CF=3。
∵ DE⊥DF，
∴ ∠EDF=∠EDH=90°。
在△EDF和△EDH中：
$\{\begin{array}{l} DE=DE \\ ∠EDF=∠EDH \\ DF=DH \end{array} $
∴ △EDF≌△EDH（SAS），
∴ EF=EH。
在△BEH中，BE=5，BH=3，根据三角形三边关系：
BE - BH ＜ EH ＜ BE + BH，即5-3 ＜ EH ＜5+3，
∴ 2 ＜ EH ＜8，因此2 ＜ EF ＜8。
【答案】2＜EF＜8

【知识点】全等三角形判定与性质，三角形三边关系
【点评】本题通过构造全等三角形实现线段转化，将分散的线段集中到同一三角形中，利用三角形三边关系求解，体现了几何转化思想，辅助线构造是解题关键。
【难度系数】0.5

【分析】要证明PC=PD，可通过证明△PCE与△PDF全等实现。已知OM是∠AOB的平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点P作OA、OB的垂线，可得到相等的线段PE和PF；再结合∠AOB和∠CPD均为直角，推出∠PCE与∠PDF相等，最后利用AAS判定三角形全等，即可得到PC=PD。
【解析】过点P分别作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则∠PEC=∠PFD=90°。
∵OM是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF（角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵∠AOB=90°，∠CPD=90°，
∴∠PCE + ∠PDO = 360° - ∠AOB - ∠CPD = 180°。
又
∵∠PDO + ∠PDF = 180°，
∴∠PCE = ∠PDF（同角的补角相等）。
在△PCE和△PDF中，
$\begin{cases} ∠PCE = ∠PDF, \\∠PEC = ∠PFD, \\PE = PF, \end{cases}$
∴△PCE ≌ △PDF（AAS）。
∴PC = PD（全等三角形的对应边相等）。
【答案】4. 如图,过点 P 分别作 $PE⊥ OA$ 于点 E,$PF⊥ OB$ 于点 F,则 $∠ PEC=∠ PFD=90°. \because OM$ 是 $∠ AOB$ 的平分线,$PE⊥ OA$,$PF⊥ OB,\therefore PE=PF. \because ∠ AOB=90°,∠ CPD=90°,\therefore$ 易得 $∠ PCE+∠ PDO=180°.$ 又 $\because ∠ PDO+∠ PDF=180°,$ $\therefore ∠ PCE=∠ PDF.$ 在 $△ PCE$ 和 $△ PDF$ 中,$\begin{cases} ∠ PCE=∠ PDF, \\ ∠ PEC=∠ PFD, \\ PE=PF, \end{cases}$ $\therefore △ PCE≌△ PDF. \therefore PC=PD$

【知识点】角平分线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】本题是几何证明的典型题型，核心是利用角平分线的性质构造全等三角形，需要学生掌握辅助线的作法及全等三角形的判定方法，逻辑推导过程清晰，是对基础几何知识的综合应用。
【难度系数】0.6

【分析】要证明线段和的关系$AE=AD+EB$，可采用“截长补短”的辅助线构造方法：在较长线段$AE$上截取$EF=EB$，连接$FC$，通过证明两次三角形全等，将$AD$和$EB$转化为$AE$的两段，从而完成证明。
【解析】
证明：如图，在$EA$上截取$EF=EB$，连接$FC$。
$\because CE⊥AB$，$\therefore ∠FEC=∠BEC=90°$。
在$△ CFE$和$△ CBE$中，
$\{\begin{array}{l} EC=EC, \\ ∠FEC=∠BEC, \\ EF=EB, \end{array} $
$\therefore △ CFE≌△ CBE$（SAS）。
$\therefore ∠CFE=∠B$。
又$\because ∠CFE+∠AFC=180°$，$∠B+∠D=180°$，
$\therefore ∠AFC=∠D$。
$\because AC$平分$∠BAD$，$\therefore ∠FAC=∠DAC$。
在$△ AFC$和$△ ADC$中，
$\{\begin{array}{l} ∠AFC=∠D, \\ ∠FAC=∠DAC, \\ AC=AC, \end{array} $
$\therefore △ AFC≌△ ADC$（AAS）。
$\therefore AF=AD$。
$\because AE=AF+EF$，且$EF=EB$，
$\therefore AE=AD+EB$。
【答案】
5. 如图,在 EA 上截取 $EF=EB$,连接 FC. $\because CE⊥ AB,$ $\therefore ∠ FEC= ∠ BEC = 90°.$ 在 $△ CFE$ 和 $△ CBE$ 中, $\begin{cases} EC=EC, \\ ∠ FEC=∠ BEC, \\ EF=EB, \end{cases}$ $\therefore △ CFE≌△ CBE. \therefore ∠ CFE=∠ B.$ 又 $\because ∠ CFE+∠ AFC=180°,∠ B+∠ D=180°,\therefore ∠ AFC=∠ D. \because AC$ 平分 $∠ BAD,\therefore ∠ FAC=∠ DAC.$ 在 $△ AFC$ 和 $△ ADC$ 中,$\begin{cases} ∠ AFC=∠ D, \\ ∠ FAC=∠ DAC, \\ AC=AC, \end{cases}$ $\therefore △ AFC≌△ ADC. \therefore AF=AD. \because AE=AF+EF,\therefore AE=AD+EB$

【知识点】
全等三角形判定与性质，角平分线定义
【点评】
本题通过“截长补短”法构造全等三角形，将线段和的问题转化为相等线段的代换，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，是几何证明中典型的线段和差问题，需要学生掌握辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.5