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A
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证明：
(1) $\because CF ⊥ AB, BE ⊥ AC$,
$\therefore ∠ AEB = ∠ AFC = 90°.$
$\therefore ∠ ABP = ∠ QCA = 90° - ∠ BAC.$
在$△ APB$和$△ QAC$中，
$\begin{cases} BP = CA, \\ ∠ ABP = ∠ QCA, \\ BA = CQ, \end{cases}$
$\therefore △ APB ≌ △ QAC.$
$\therefore AP = QA.$
(2) $\because △ APB ≌ △ QAC$,
$\therefore ∠ BAP = ∠ CQA.$
$\because ∠ CQA + ∠ QAF = 90°$,
$\therefore ∠ QAP = ∠ BAP + ∠ QAF = 90°$,
即 $AP ⊥ AQ.$
$90°$
解：① $α + β = 180°，$理由如下：
$\because ∠ BAC = ∠ DAE$,
$\therefore ∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$, 即 $∠ BAD = ∠ CAE.$
在$△ ABD$和$△ ACE$中，
$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠ BAD = ∠ CAE, \\ AD = AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE.$
$\therefore ∠ B = ∠ ACE.$
$\therefore ∠ B + ∠ ACB = ∠ ACE + ∠ ACB = β.$
$\because ∠ BAC + ∠ B + ∠ ACB = 180°$,
$\therefore α + β = 180°.$
② 当点$D$在线段$BC$及其延长线上时，$α + β = 180°；$
当点$D$在线段$BC$的反向延长线上时，$α = β.$
【分析】
要确定凉亭H的位置，需结合两个条件分析：①到AB、AC距离相等，根据角平分线性质可确定H在∠BAC的平分线上；②△ABH与△BCH面积相等，结合三角形面积公式和中线的定义，可确定H在AC的中线上，最终找到两者的交点即可。
【解析】
1. 满足“到公路AB、AC的距离相等”：根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点H在∠BAC的平分线上；
2. 满足“S△ABH = S△BCH”：△ABH和△BCH共享顶点B，底边AH、HC在同一直线AC上，它们的高均为点B到直线AC的距离。根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，面积相等则底相等，即$AH=HC$，说明H是AC的中点，因此点H在边AC的中线上；
3. 综上，点H是∠BAC的平分线与边AC的中线的交点，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线性质、三角形中线、三角形面积
【点评】
本题结合实际场景考查几何性质的应用，需熟练掌握角平分线性质、三角形面积与中线的关系，理清两个条件对应的几何位置，难度中等。
【难度系数】
0.5
【分析】首先，根据角平分线的性质，AD是△ABC的角平分线，过D作DH⊥AC于H，可得DF=DH（角平分线上的点到角两边的距离相等）。接着，结合DE=DG，可证Rt△DEF与Rt△DGH全等，故两者面积相等；再由AD为公共边，DF=DH，可证Rt△ADF与Rt△ADH全等，因此这两个三角形面积相等。最后结合已知△AED和△ADG的面积，建立方程求解△EDF的面积。
【解析】过点D作$DH⊥AC$于点H。
∵AD是$△ABC$的角平分线，$DF⊥AB$，
∴$DF=DH$，且$∠DFE=∠DHG=90°$。
在$Rt△DEF$和$Rt△DGH$中，
$\begin{cases} DE=DG \\ DF=DH \end{cases}$
∴$Rt△DEF≌Rt△DGH$（HL），
∴$S_{△DEF}=S_{△DGH}$，设其面积为$x$。
同理，在$Rt△ADF$和$Rt△ADH$中，
$\begin{cases} AD=AD \\ DF=DH \end{cases}$
∴$Rt△ADF≌Rt△ADH$（HL），
∴$S_{△ADF}=S_{△ADH}$。
又
∵$S_{△AED}=36$，$S_{△ADG}=52$，
而$S_{△ADF}=S_{△AED}+S_{△DEF}=36+x$，
$S_{△ADH}=S_{△ADG}-S_{△DGH}=52-x$，
∴$36+x=52-x$，
解得$x=8$，即$△EDF$的面积为8。
【答案】8
【知识点】角平分线性质、全等三角形判定、三角形面积计算
【点评】本题通过作辅助线构造全等三角形，利用角平分线性质和全等三角形的面积关系建立方程求解，关键是理清各三角形面积的等量关系，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】0.5
【分析】
要证明$AP=QA$，需观察到$AP$、$QA$分别在$△ APB$和$△ QAC$中，结合已知条件$BP=AC$、$AB=CQ$，利用$BE$、$CF$是高的性质推导角相等，通过SAS证明三角形全等即可得线段相等；要证明$AP⊥AQ$，利用全等三角形对应角相等，结合直角的余角关系推导$∠ QAP=90°$。
【解析】
(1) $\because BE$、$CF$是$△ ABC$的高，$\therefore BE⊥AC$，$CF⊥AB$，即$∠ AEB=∠ AFC=90°$。
在$△ ABC$中，$∠ ABP=90°-∠ BAC$，$∠ QCA=90°-∠ BAC$，$\therefore ∠ ABP=∠ QCA$。
在$△ APB$和$△ QAC$中，$\begin{cases} BP=CA \\ ∠ ABP=∠ QCA \\ BA=CQ \end{cases}$，$\therefore △ APB≌△ QAC(\mathrm{SAS})$，$\therefore AP=QA$。
(2) $\because △ APB≌△ QAC$，$\therefore ∠ BAP=∠ CQA$。
$\because CF⊥AB$，$\therefore ∠ CQA+∠ QAF=90°$，将$∠ BAP$替换$∠ CQA$得$∠ BAP+∠ QAF=90°$，即$∠ QAP=90°$，$\therefore AP⊥AQ$。
【答案】
(1) $AP=QA$；(2) $AP⊥AQ$
【知识点】
全等三角形判定与性质、垂直的证明
【点评】
本题通过构造全等三角形解决线段相等和垂直问题，核心是利用高的性质推导等角，考查全等三角形的应用，属于几何基础证明题。
【难度系数】
0.5
【分析】
本题主要利用等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理解题。对于(1)，先通过角的等量关系推出∠BAD=∠CAE，结合AB=AC、AD=AE证明△ABD≌△ACE，再利用等腰直角三角形的角度特征计算∠BCE；对于(2)①，同理证明全等后，结合三角形内角和推导α与β的关系；②需分点D在直线BC上的不同位置讨论，得出对应角度关系。
【解析】
(1) 因为∠BAC=∠DAE，所以∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，$\begin{cases}AB=AC \\ ∠BAD=∠CAE \\ AD=AE\end{cases}$，所以△ABD≌△ACE（SAS）。
因为AB=AC，∠BAC=90°，所以△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠ACB=45°，则∠ACE=∠B=45°，因此∠BCE=∠ACB + ∠ACE=45°+45°=90°。
(2) ① $α+β=180°$，理由如下：
因为∠BAC=∠DAE，所以∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，$\begin{cases}AB=AC \\ ∠BAD=∠CAE \\ AD=AE\end{cases}$，所以△ABD≌△ACE（SAS），故∠B=∠ACE。
因为∠B + ∠ACB = ∠ACE + ∠ACB = β，又在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠ACB = 180°，即$α + β = 180°$。
② 分情况讨论：当点D在线段BC及其延长线上时，$α+β=180°$；当点D在线段BC的反向延长线上时，$α=β$。
【答案】
(1) $90°$；(2) ① $α+β=180°$；② 当D在线段BC及其延长线上时，$α+β=180°$；当D在线段BC反向延长线上时，$α=β$
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是几何综合题，核心是通过全等三角形转化角度，结合等腰三角形和三角形内角和推导关系，需注意分情况讨论点D的位置，避免漏解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
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