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B
$(\frac{180}{7})°$
$67°$
证明：
解法一：∵​$AB=AC$​，
∴​$∠ B = ∠ C$​。
​$ $​在​$△ ABD$​和​$△ ACE$​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {AB}=AC， \\∠ B = ∠ C， \\BD=CE， \end {cases}$​
∴​$△ ABD ≌ △ ACE$​。
∴​$AD=AE$​。
解法二：如图，作边​$BC$​上的高​$AH$​。

∵​$AB=AC$​，
∴​$BH=CH$​。
又∵​$BD=CE$​，
∴​$DH=EH$​。
∵​$AH ⊥ DE$​，
∴​$AD=AE$​。
证明：如图，连接​$DE$​，​$DF$​。
∵​$AB=AC$​，
∴​$∠ B = ∠ C$​。
​$ $​在​$△ BDE$​和​$△ CFD$​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {BE}=CD， \\∠ B = ∠ C， \\BD=CF， \end {cases}$​
∴​$△ BDE ≌ △ CFD$​。
∴​$DE=FD$​。
∵​$G$​是​$EF$​的中点，
∴​$DG ⊥ EF$​。

解：
(1) $\because ∠ BAC=90°，$$AB=AC，$
$\therefore ∠ B = ∠ C = \frac{1}{2}(180° - ∠ BAC)=45°。$
又$\because ∠ BAD=30°，$
$\therefore ∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD = 45° + 30° =75°。$
$\because ∠ DAC = ∠ BAC - ∠ BAD = 90° - 30° =60°，$且$AD=AE，$
$\therefore ∠ ADE = ∠ AED = \frac{1}{2}(180° - ∠ DAC)=60°。$
$\therefore ∠ EDC = ∠ ADC - ∠ ADE =75° -60° =15°。$
(2) $\because ∠ BAC = α，$$∠ BAD=30°，$
$\therefore ∠ DAC = α - 30°。$
$\because AB=AC，$
$\therefore ∠ B = ∠ C = \frac{1}{2}(180° - ∠ BAC)=90° - \frac{1}{2}α。$
$\therefore ∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD = 120° - \frac{1}{2}α。$
$\because AD=AE，$
$\therefore ∠ ADE = ∠ AED = \frac{1}{2}(180° - ∠ DAC)=105° - \frac{1}{2}α。$
$\therefore ∠ EDC = ∠ ADC - ∠ ADE = (120° - \frac{1}{2}α) - (105° - \frac{1}{2}α) =15°。$
(3) $∠ EDC = \frac{1}{2}∠ BAD。$
【分析】
要解决本题，首先利用等腰三角形的性质求出相关角度，再通过作辅助线构造全等三角形，将所求线段AB与已知线段AF建立联系，进而计算AB的长度。
【解析】
1. 计算∠ACD的度数：因为B、C、D共线，∠ACB=110°，所以∠ACD=180°-∠ACB=180°-110°=70°。
2. 计算∠ACE的度数：已知∠ECD=15°，因此∠ACE=∠ACD - ∠ECD=70°-15°=55°。
3. 作辅助线：过点C作CG⊥AB于点G。因为CA=CB，△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，CG平分∠ACB，故∠ACG=∠ACB÷2=110°÷2=55°，且AB=2AG。
4. 证明全等：因为AF⊥CE，所以∠AFC=90°；又CG⊥AB，所以∠AGC=90°，即∠AFC=∠AGC=90°。结合∠ACF=∠ACG=55°，AC为公共边，根据AAS判定，△AFC≌△AGC。
5. 计算AB长度：由全等得AF=AG，已知AF=√5，所以AG=√5，因此AB=2AG=2×√5=2√5。
【答案】
2√5
【知识点】
等腰三角形性质、全等三角形判定、角的计算
【点评】
本题结合等腰三角形性质与全等三角形判定，核心是通过作辅助线构造全等关系，将AB转化为2倍的AF，考查学生对几何辅助线的运用能力，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.4
【分析】
要计算∠A的度数，可利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理、外角性质推导：设∠A为未知数，根据AD=CD得∠ACD=∠A，再由外角性质得∠BDC=2∠A；结合BC=BD得∠BCD=∠BDC，再根据AB=AC得∠B=∠ACB，最后利用△ABC内角和为180°列方程求解。
【解析】
设∠A = x°。
1. 因为AD = CD，△ADC为等腰三角形，根据等边对等角，得∠ACD = ∠A = x°，则∠ADC = 180° - ∠A - ∠ACD = 180° - 2x°。
2. 由平角定义，∠ADC + ∠BDC = 180°，因此∠BDC = 180° - (180° - 2x°) = 2x°。
3. 因为BC = BD，△BDC为等腰三角形，根据等边对等角，得∠BCD = ∠BDC = 2x°。
4. 因为AB = AC，△ABC为等腰三角形，故∠B = ∠ACB。又∠ACB = ∠ACD + ∠BCD = x° + 2x° = 3x°，所以∠B = 3x°。
5. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得∠A + ∠B + ∠ACB = 180°，即x + 3x + 3x = 180，解得7x = 180，x = 180/7。
因此∠A = (180/7)°。
【答案】
(180/7)°
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理、三角形外角性质
【点评】
本题综合考查等腰三角形性质与三角形内角和的应用，核心是通过设未知数建立角的等量关系，利用几何定理列方程求解，是典型的角度计算题型，需熟练掌握等腰三角形边角关系。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决本题，需先利用等腰三角形的三线合一性质确定角平分线，再结合三角形外角的性质计算角度。步骤如下：1. 由BA=BE、F为AE中点，得BD平分∠ABE，求出∠DBC的度数；2. 根据三角形外角性质，∠ADB是△BDC的外角，等于∠DBC与∠C的和，代入数值计算即可。
【解析】
1. 在△ABE中，因为BA=BE，F为AE的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，BD平分∠ABE，所以∠ABD=∠DBC=∠ABC÷2=34°÷2=17°。
2. 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠ADB是△BDC的外角，因此∠ADB=∠DBC + ∠C。
3. 将∠DBC=17°，∠C=50°代入，得∠ADB=17°+50°=67°。
【答案】
67°
【知识点】
等腰三角形三线合一，三角形外角性质
【点评】
本题综合考查等腰三角形的性质与三角形外角的性质，属于几何基础题型，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.5
【分析】
要证明AD=AE，可通过两种思路解决：一是利用三角形全等，由AB=AC得∠B=∠C，结合BD=CE，用SAS证明△ABD与△ACE全等，进而得到对应边AD=AE；二是利用等腰三角形“三线合一”和垂直平分线的性质，作BC边上的高AH，推出DH=EH，再根据垂直平分线性质得到AD=AE。
【解析】
解法一：
∵ AB=AC，
∴ ∠B = ∠C（等腰三角形两底角相等）。
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC, \\∠B=∠C, \\BD=CE,\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACE（SAS），
∴ AD=AE（全等三角形对应边相等）。
解法二：
作AH⊥BC于点H。
∵ AB=AC，AH⊥BC，
∴ BH=CH（等腰三角形三线合一，底边上的高平分底边）。
又
∵ BD=CE，
∴ BH - BD = CH - CE，即DH=EH。
∵ AH⊥BC，DH=EH，
∴ AH是DE的垂直平分线，
∴ AD=AE（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
【答案】
AD=AE
【知识点】
等腰三角形性质、三角形全等判定、垂直平分线性质
【点评】
本题为一题多解的证明题，既考查三角形全等的判定与性质，又结合等腰三角形的性质，解题方法灵活，能帮助学生巩固相关知识点的应用。
【难度系数】
0.6
【分析】要证明$DG⊥EF$，已知$G$是$EF$的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明$DE=DF$即可。要得到$DE=DF$，可通过证明$△ BDE$和$△ CFD$全等，结合$AB=AC$得出$∠ B=∠ C$，再利用已知的$BE=CD$、$BD=CF$，用SAS判定全等，进而得到$DE=DF$，最后利用等腰三角形三线合一得出结论。
【解析】连接$DE$、$DF$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ B=∠ C$。
在$△ BDE$和$△ CFD$中：
$\{\begin{array}{l} BE=CD \\ ∠ B=∠ C \\ BD=CF \end{array} $
$\therefore △ BDE ≌ △ CFD$（SAS），
$\therefore DE=FD$。
又$\because G$是$EF$的中点，
$\therefore DG⊥EF$（等腰三角形三线合一）。
【答案】如图,连接 $DE,DF$. $\because AB=AC, \therefore ∠ B = ∠ C$. 在$△ BDE$和$△ CFD$ 中,$\begin{cases} BE=CD, \\ ∠ B = ∠ C, \\ BD=CF, \end{cases}$ $\therefore △ BDE ≌ △ CFD. \therefore DE=FD$.$\because G$ 是 $EF$ 的中点, $\therefore DG ⊥ EF$
【知识点】全等三角形的判定、等腰三角形的性质
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与等腰三角形三线合一的性质，解题关键是通过全等三角形得到等腰三角形，再利用三线合一证明垂直，需要学生熟练掌握相关几何定理的应用。
【难度系数】0.6
【分析】
本题是等腰三角形的角度计算问题，解题思路为：利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形外角定理、三角形内角和定理，先求出相关角的度数，再通过角的和差关系推导∠EDC的度数，最后总结∠EDC与∠BAD的数量关系。具体步骤为：先根据AB=AC求出∠B、∠C，用外角定理得∠ADC，由AD=AE得∠ADE，再通过∠EDC=∠ADC-∠ADE计算结果，第三问归纳规律。
【解析】
(1) 已知AB=AC，∠BAC=90°，根据等腰三角形两底角相等，得∠B=∠C=½(180°-∠BAC)=½×(180°-90°)=45°。
因为∠BAD=30°，根据三角形外角定理，∠ADC=∠B+∠BAD=45°+30°=75°。
又∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-30°=60°，且AD=AE，所以△ADE为等腰三角形，∠ADE=∠AED=½(180°-∠DAC)=½×(180°-60°)=60°。
因此∠EDC=∠ADC-∠ADE=75°-60°=15°。
(2) 已知∠BAC=α，∠BAD=30°，则∠DAC=α-30°。
由AB=AC，得∠B=∠C=½(180°-α)=90°-½α。
根据外角定理，∠ADC=∠B+∠BAD=(90°-½α)+30°=120°-½α。
因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=½(180°-∠DAC)=½[180°-(α-30°)]=105°-½α。
故∠EDC=∠ADC-∠ADE=(120°-½α)-(105°-½α)=15°。
(3) 设∠BAD=x，∠BAC=α，则∠DAC=α-x，∠B=∠C=90°-½α，∠ADC=∠B+x=90°-½α +x，∠ADE=½(180°-(α-x))=90°-½α +½x，所以∠EDC=∠ADC-∠ADE=½x，即∠EDC=½∠BAD。
【答案】
(1) 15°；(2) 15°；(3) ∠EDC=½∠BAD
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和、三角形外角性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题，主要考查等腰三角形性质、三角形内角和定理及外角定理的应用，通过角的和差关系推导角度，第三问需归纳角度间的数量关系，难度适中。
【难度系数】
0.5
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