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D
D
C
$36°$
25
证明：∵​$△ ABC$​是等边三角形，
∴​$∠ BAC=∠ ACB=60°$​，​$AB=AC$​。
∴​$∠ EAF=∠ DCE=180°-60°=120°$​。
又∵​$BF=AE$​，
∴​$AB+BF=AC+AE$​，即​$AF=CE$​。
在​$△ AEF$​和​$△ CDE$​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {AF}=CE， \\∠ EAF=∠ DCE， \\AE=CD， \end {cases}$​
∴​$△ AEF ≌ △ CDE$​。
∴​$EF=DE$​。
同理，可证​$FD=DE$​，
∴​$△ EDF$​是等边三角形
B
【分析】
要解决这道题，首先利用等边三角形的周长求出边长，再根据等边三角形“三线合一”的性质（高同时是中线）得到CD的长度，结合CE=CD算出CE的长度，最后通过线段和差计算BE的长度即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，且周长为12，
∴等边三角形的边长BC = 12÷3 = 4，AC = BC = 4。
∵BD是等边△ABC的高，根据等边三角形“三线合一”的性质，BD是AC边上的中线，
∴CD = AC÷2 = 4÷2 = 2。
又
∵CE = CD，
∴CE = 2。
∴BE = BC + CE = 4 + 2 = 6。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形性质、线段和差计算
【点评】
本题考查等边三角形的基本性质，利用“三线合一”求线段长度是解题关键，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
【分析】要判断四个三角形是否为等边三角形，需结合等边三角形的判定定理逐一分析：
1. 对于①：三角形内角和为180°，若有两个角为60°，则第三个角为180°-60°-60°=60°，三个角均相等，根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”，可知该三角形是等边三角形；
2. 对于②：根据等边三角形的判定定理“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，直接可知该三角形是等边三角形；
3. 对于③：三角形外角和为360°，若三个外角都相等，则每个外角为360°÷3=120°，对应每个内角为180°-120°=60°，三个内角均为60°，故该三角形是等边三角形；
4. 对于④：等腰三角形腰上的中线也是腰上的高，说明中线与高重合，可证该等腰三角形的腰与底边相等，结合等腰三角形两腰相等，得三边相等，故是等边三角形。综上，四个均为等边三角形，选D。
【解析】逐一分析各条件：
① 已知两个角为60°，由三角形内角和得第三个角=180°-60°-60°=60°，三个角相等，符合等边三角形判定，是等边三角形；
② 有一个角为60°的等腰三角形，根据等边三角形判定定理，是等边三角形；
③ 三个外角相等，每个外角=360°÷3=120°，每个内角=180°-120°=60°，三个内角均为60°，是等边三角形；
④ 等腰三角形腰上的中线也是高，说明该三角形的腰与底边相等，结合等腰三角形两腰相等，得三边相等，是等边三角形。因此①②③④均为等边三角形，答案选D。
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定
【点评】本题考查等边三角形的判定，需熟练运用内角和、外角和等知识逐一判断，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.7
【分析】
要解决该问题，需结合等边三角形的性质，通过角度关系推导等边三角形和平行四边形，进而找出与AD相等的线段。首先，等边三角形ABC中，CD是AB上的高，根据等边三角形“三线合一”，得AD=DB=½AB，且∠A=∠B=60°；接着，由∠ADE=60°推出△ADE为等边三角形，得到AD=AE=DE；同理，∠BDF=60°推出△BDF为等边三角形，得BD=BF=DF，结合BD=AD，得BF=DF=AD；再通过同位角相等推出DE//BC、DF//AC，判定四边形DFCE为平行四边形，得DE=FC、DF=EC；最后结合AC=AB=2AD，计算出EC=AD、FC=AD，统计与AD相等的线段数量即可。
【解析】
1. 等边三角形ABC中，CD是AB上的高，根据等边三角形“三线合一”性质，得：
AD = DB = ½AB，∠A = ∠B = 60°；
2. 在△ADE中，∠A=60°，∠ADE=60°，则∠AED=180°-60°-60°=60°，故△ADE为等边三角形，因此：
AD = AE = DE；
3. 在△BDF中，∠B=60°，∠BDF=60°，则∠BFD=180°-60°-60°=60°，故△BDF为等边三角形，因此：
BD = BF = DF；
又因为BD=AD，所以BF=DF=AD；
4. 由∠ADE=∠B=60°，得DE//BC（同位角相等，两直线平行）；由∠BDF=∠A=60°，得DF//AC（同位角相等，两直线平行），因此四边形DFCE是平行四边形，故：
DE = FC，DF = EC；
5. 因为AC=AB=2AD，AE=AD，所以EC=AC - AE=2AD - AD=AD；
因为BC=AB=2AD，BF=AD，所以FC=BC - BF=2AD - AD=AD；
综上，与AD相等的线段有：DB、AE、DE、BF、DF、EC、FC，共7条。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形性质、平行四边形判定与性质
【点评】
本题综合考查等边三角形的性质及平行四边形的判定与性质，需要结合角度关系逐步推导特殊三角形和特殊四边形，进而找出相等线段，对几何性质的综合应用能力要求较高。
【难度系数】
0.3
【分析】
要解决本题，需利用等边三角形“三线合一”的性质，先确定AD是BC的垂直平分线，进而得到EB=EC，推出∠EBC=∠ECB；再结合直角三角形内角和算出∠ECB的度数；最后利用等边三角形内角为60°，通过角度差求出∠ABE的度数。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，
∴AD垂直平分BC（等边三角形三线合一），∠ABC=60°，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB。
又
∵AD⊥BC，
∴∠EDC=90°，
在△EDC中，∠CED=55°，
∴∠ECB=90°−∠CED=90°−55°=35°，
∴∠EBC=35°，
∴∠ABE=∠ABC−∠EBC=60°−35°=25°。
【答案】
25
【知识点】
等边三角形性质，垂直平分线性质，直角三角形内角和
【点评】
本题综合考查等边三角形、垂直平分线的性质及直角三角形的角度计算，核心是利用等边三角形三线合一得到AD是BC的垂直平分线，推导角的关系，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.6
【分析】要证明△EDF是等边三角形，需结合等边三角形的性质和全等三角形的判定推导。首先利用等边三角形的内角为60°，得到对应外角为120°，再结合已知线段相等的条件，通过线段和差关系得到相等线段，证明三角形全等得到边相等，同理推导第三组边相等，即可判定△EDF为等边三角形。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC，
∴∠EAF=180°−∠BAC=120°，∠DCE=180°−∠ACB=120°，
即∠EAF=∠DCE。
又
∵BF=AE，
∴AB+BF=AC+AE，即AF=CE。
在△AEF和△CDE中，
$\{\begin{array}{l}AF=CE, \\∠EAF=∠DCE, \\AE=CD,\end{array} $
∴△AEF≌△CDE（SAS），
∴EF=DE。
同理，可证△BFD≌△CDE，得FD=DE，
∴EF=DE=FD，
∴△EDF是等边三角形。
【答案】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC。
∴∠EAF=∠DCE=180°−60°=120°。又
∵BF=AE，
∴AB+BF=AC+AE，即AF=CE。在△AEF和△CDE中，$\{\begin{array}{l} AF=CE, \\ ∠EAF=∠DCE, \\ AE=CD, \end{array} $
∴△AEF≌△CDE。
∴EF=DE。同理，可证FD=DE，
∴△EDF是等边三角形。
【知识点】等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定
【点评】本题是几何证明典型题，考查等边三角形性质与全等三角形的应用，通过等量代换构造全等三角形推导边相等，进而判定等边三角形，需熟练掌握相关定理，锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】0.5
【分析】
要解决本题，需利用等边三角形和等腰三角形的性质推导角度关系：首先由等边三角形的边相等推出AE=AD，得到等腰△AED；再结合已知∠EDC=40°和等边△ACD的内角，求出∠ADE，进而算出∠EAD；最后通过∠EAD与已知角的关系求出∠BAC，再利用等腰△ABC的性质计算∠ABC。
【解析】
1. 因为△ABE和△ACD是等边三角形，所以AB=AE，AC=AD，∠BAE=∠CAD=60°。
2. 又AB=AC，故AE=AD，△AED为等腰三角形，∠ADE=∠AED。
3. 已知∠EDC=40°，且等边△ACD中∠ADC=60°，因此∠ADE=∠ADC - ∠EDC=60°-40°=20°。
4. 在△AED中，由三角形内角和得∠EAD=180°-∠ADE-∠AED=180°-20°-20°=140°。
5. 因为∠EAD=∠BAE+∠BAC+∠CAD，代入得140°=60°+∠BAC+60°，解得∠BAC=20°。
6. 在△ABC中，AB=AC，故△ABC为等腰三角形，∠ABC=(180°-∠BAC)÷2=(180°-20°)÷2=80°。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形性质、等腰三角形性质、三角形内角和
【点评】
本题综合考查等边三角形和等腰三角形的性质，关键是通过边相等推导等腰三角形，再结合内角和建立角度关系，属于中等难度的几何角度计算题，需理清各角的位置关系。
【难度系数】
0.6
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