第59页 - 通成学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

 解：如图，延长$BD$交$AC$于点$E。$

 $\because AD$ 平分$∠ BAE，$$AD⊥ BD，$

 $\therefore ∠ BAD=∠ EAD，$$∠ ADB=∠ ADE。$

 在$△ ABD$ 和$△ AED$中，

 $\begin{cases} ∠ BAD=∠ EAD, \\ AD=AD, \\ ∠ ADB=∠ ADE, \end{cases}$

 $\therefore △ ABD ≌ △ AED。$

 $\therefore BD = DE。$

 $\therefore S_{△ ABD}=S_{△ ADE}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}，$$S_{△ BDC}=S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ BEC}。$

 $\therefore S_{△ ADC}=S_{△ ADE}+S_{△ CDE}=\frac{1}{2}(S_{△ ABE}+S_{△ BEC})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×24=12(\mathrm{m}^2)$

 解：如图，在线段$DC$上取一点$E，$使$DE=DB，$连接$AE。$

 $\because AD$ 是$△ ABC$ 的高，

 $\therefore AD⊥ BC。$

 $\therefore AD$ 垂直平分$BE。$

 $\therefore AB=AE。$

 $\because ∠ BAD=38°，$

 $\therefore ∠ AEB=∠ B=90°-∠ BAD=52°。$

 $\because AB+BD=DC，$$DE+CE=DC，$

 $\therefore AB=CE。$

 $\therefore AE=CE。$

 $\therefore ∠ EAC=∠ C。$

 $\because ∠ AEB=∠ EAC+∠ C=2∠ C，$

 $\therefore ∠ C=\frac{1}{2}∠ AEB=26°$

 证明：如图，在$BC$上取一点$E，$使$BE=BA，$连接$DE。$

 $\because BD$ 平分$∠ ABC，$

 $\therefore ∠ ABD = ∠ EBD。$

 在$△ ABD$ 和$△ EBD$ 中，

 $\begin{cases} AB=EB, \\ ∠ ABD=∠ EBD, \\ BD=BD, \end{cases}$

 $\therefore △ ABD ≌ △ EBD。$

 $\therefore ∠ BAC = ∠ BED=108°。$

 $\therefore ∠ DEC=72°。$

 $\because AB=AC，$

 $\therefore ∠ C=∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=36°。$

 $\therefore ∠ CDE=180°-∠ C-∠ DEC=72°=∠ DEC。$

 $\therefore CD=CE。$

 $\therefore BC=BE+EC=AB+CD$

 证明：如图，作$∠ ACB$ 的平分线交$AB$ 于点$E，$连接$ED，$

 则$∠ ACB=2∠ ECB。$

 $\because ∠ ACB=2∠ B，$

 $\therefore ∠ B=∠ ECB。$

 $\therefore CE=BE。$

 $\because AD$ 为$BC$边上的中线，

 $\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC。$

 $\therefore ED⊥ BC。$

 $\therefore ∠ EDC=90°。$

 又$\because AC=\frac{1}{2}BC，$

 $\therefore AC=CD。$

 在$△ AEC$ 和$△ DEC$ 中，

 $\begin{cases} AC=DC, \\ ∠ ACE=∠ DCE, \\ CE=CE, \end{cases}$

 $\therefore △ AEC ≌ △ DEC。$

 $\therefore ∠ BAC=∠ EDC=90°$

【分析】
要计算△ADC的面积，需结合AD是角平分线且垂直BD的条件，通过延长BD交AC于E构造全等三角形，利用全等三角形的性质和等底同高三角形面积相等的规律，将△ADC的面积转化为△ABC面积的一半，进而求解。具体步骤：1. 延长BD交AC于E，证明△ABD≌△AED；2. 由全等得BD=DE，推出相关三角形面积的关系；3. 代入已知面积计算△ADC的面积。
【解析】
如图，延长BD交AC于点E。
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE=90°。
在△ABD和△AED中，
$\begin{cases}∠BAD=∠EAD, \\AD=AD, \\∠ADB=∠ADE,\end{cases}$
∴△ABD≌△AED（ASA）。
∴BD=DE。
∵△ABD与△ADE等底（BD=DE）同高，
∴$S_{△ABD}=S_{△ADE}=\frac{1}{2}S_{△ABE}$。
同理，△BDC与△CDE等底（BD=DE）同高，
∴$S_{△BDC}=S_{△CDE}=\frac{1}{2}S_{△BEC}$。
因此，$S_{△ADC}=S_{△ADE}+S_{△CDE}=\frac{1}{2}(S_{△ABE}+S_{△BEC})=\frac{1}{2}S_{△ABC}$。
已知$S_{△ABC}=24\ \mathrm{m}^2$，
∴$S_{△ADC}=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{m}^2$。
【答案】12 m²

【知识点】角平分线性质，全等三角形判定，三角形面积
【点评】本题通过构造辅助线转化三角形面积，核心是利用全等三角形和等底同高的面积关系，体现了几何解题中的转化思想，难度中等。
【难度系数】0.5

【分析】要解决本题，需结合已知的线段和关系$AB+BD=DC$，采用截长补短法构造辅助线，将线段关系转化为等腰三角形的边，再利用三角形外角性质推导角度。具体思路：在$DC$上取点$E$使$DE=DB$，通过$AD$垂直平分$BE$得到$AB=AE$，再结合$AB+BD=DC$推出$AE=CE$，进而利用外角定理计算$∠ C$。
【解析】
解：在线段$DC$上取一点$E$，使$DE=DB$，连接$AE$。
$\because AD$是$△ ABC$的高，$\therefore AD ⊥ BC$，
又$\because DE=DB$，$\therefore AD$垂直平分$BE$，
$\therefore AB=AE$，$\therefore ∠ B=∠ AEB$。
$\because$在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ BAD=38°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ BAD=90°-38°=52°$，
$\therefore ∠ AEB=∠ B=52°$。
$\because AB+BD=DC$，且$DE=BD$，
$\therefore AB=DC-BD=DC-DE=CE$，
又$\because AB=AE$，$\therefore AE=CE$，
$\therefore △ AEC$为等腰三角形，$∠ EAC=∠ C$。
$\because ∠ AEB$是$△ AEC$的外角，
$\therefore ∠ AEB=∠ EAC+∠ C=2∠ C$，
$\therefore ∠ C=\frac{1}{2}∠ AEB=\frac{1}{2}×52°=26°$。
【答案】$26°$
【知识点】垂直平分线性质、等腰三角形性质、三角形外角性质
【点评】本题通过构造截长补短型辅助线转化线段关系，结合等腰三角形和外角性质求解，重点考查几何辅助线的应用与三角形性质的综合运用，是中等难度的几何题。
【难度系数】0.5

【分析】要证明BC=AB+CD，可采用截长补短法，在较长线段BC上截取一段等于AB，构造全等三角形，再通过等腰三角形的性质推导角的关系，证明剩余线段等于CD，从而完成证明。
【解析】
1. 在BC上取一点E，使BE=BA，连接DE。
2. 因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠EBD。
3. 在△ABD和△EBD中：
$\{\begin{array}{l} AB=EB \\ ∠ABD=∠EBD \\ BD=BD \end{array} $
所以△ABD≌△EBD（SAS）。
4. 由全等三角形的性质，得∠BED=∠BAC=108°，因此∠DEC=180°-∠BED=72°。
5. 因为AB=AC，∠BAC=108°，所以△ABC为等腰三角形，∠C=∠ABC=$\frac{1}{2}(180°-108°)=36°$。
6. 在△DEC中，∠CDE=180°-∠DEC-∠C=180°-72°-36°=72°，所以∠CDE=∠DEC，故CD=CE。
7. 又因为BC=BE+EC，且BE=AB，EC=CD，所以BC=AB+CD。
【答案】BC=AB+CD
【知识点】全等三角形判定与性质、等腰三角形性质、角平分线定义
【点评】本题运用截长补短法构造全等三角形，结合等腰三角形的角度计算，是证明线段和差关系的经典题型，需掌握此类辅助线的构造思路。
【难度系数】0.5

【分析】
要证明∠BAC=90°，结合已知条件∠ACB=2∠B、AC=1/2BC、AD是BC中线，可通过作∠ACB的平分线构造等腰三角形与全等三角形。先利用角平分线将∠ACB分成两个等角，结合∠ACB=2∠B得到等腰△BCE，再借助中线性质推出ED⊥BC，最后通过SAS证明△AEC≌△DEC，从而得到∠BAC=∠EDC=90°。
【解析】
证明：
1. 作∠ACB的平分线CE，交AB于点E，连接ED，则∠ACB=2∠ECB。
2.
∵∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠ECB，根据等角对等边，得CE=BE，即△BCE为等腰三角形。
3.
∵AD为BC边上的中线，
∴BD=CD=1/2BC（中线定义）。
4. 在等腰△BCE中，CD=1/2BC，故ED是底边BC的中线，根据等腰三角形三线合一，得ED⊥BC，即∠EDC=90°。
5.
∵AC=1/2BC，
∴AC=CD。
6. 在△AEC和△DEC中：
$\begin{cases} AC=DC, \\ ∠ACE=∠DCE, \\ CE=CE, \end{cases}$

∴△AEC≌△DEC（SAS）。
7. 由全等三角形对应角相等，得∠BAC=∠EDC=90°，得证。
【答案】
∠BAC=90°
【知识点】
全等三角形判定（SAS）、等腰三角形性质、角平分线定义
【点评】
本题通过作辅助线构造全等三角形，结合等腰三角形性质完成证明，考查学生几何逻辑推理能力，是典型的中等难度几何证明题，需熟练掌握相关几何定理的应用。
【难度系数】
0.5