第62页

信息发布者：
D
B
3
2
解：
∵​$△ABC$​是等边三角形，
∴​$∠A=∠C=60°$​，​$AB=BC=AC=4$​。
∵​$D$​是​$AB$​的中点，
∴​$AD=BD=2$​。
∵​$DF⊥AC$​，
∴​$∠AFD=90°$​。
∴​$∠ADF=90°−∠A=30°$​。
∴​$AF=\frac {1}{2}AD=1$​。
∴​$CF=AC−AF=3$​。
∵​$FH⊥BC$​，
∴​$∠FHC=90°$​。
∴​$∠HFC=90°−∠C=30°$​。
∴​$CH=\frac {1}{2}CF=\frac {3}{2}$​。
∴​$BH=BC-CH=\frac {5}{2}$​。
A
4
【分析】
要解决本题，需先确定线段AP的取值范围：在直角三角形中，点到直线的最短距离是垂线段，由此得到AP的最小值；再利用直角三角形中30°角的性质求出斜边AB的长度，得到AP的最大值，进而确定AP的范围，最后对比选项得出答案。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$∠B=30°$，$AC=3$。
1. 求斜边$AB$的长度：根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$AB=2AC=2×3=6$。
2. 确定$AP$的取值范围：因为$P$是$BC$上的动点，根据“垂线段最短”，$AP$的最小值为$AC=3$；当点$P$与点$B$重合时，$AP$的长度最大，等于$AB=6$。因此$AP$的取值范围是$3≤AP≤6$。
3. 对比选项：选项中7不在$3≤AP≤6$的范围内，所以$AP$的长不可能是7。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形性质、垂线段最短
【点评】
本题考查直角三角形的性质和垂线段最短的应用，核心是确定AP的取值范围，属于基础题型，难度不大，需熟练掌握直角三角形中30°角的性质及垂线段的性质。
【难度系数】
0.5
【分析】
要推导BD与BC的数量关系，需利用直角三角形中30°角的性质和同角的余角相等的规律。首先在Rt△ABC中，根据30°角对应的直角边是斜边的一半，得到AB与BC的关系；再结合AD⊥BC，利用同角的余角相等得出∠BAD=∠C，进而在Rt△ABD中再次运用30°角的直角边性质，最后通过代换得到BD与BC的关系。
【解析】
在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
$AB = \frac{1}{2}BC$ ①
因为AD⊥BC，所以∠ADB=90°，在Rt△ABD中，∠B + ∠BAD = 90°；
又在Rt△ABC中，∠B + ∠C = 90°，根据同角的余角相等，得∠BAD = ∠C = 30°；
再根据直角三角形的性质，在Rt△ABD中，∠BAD=30°，它所对的直角边是BD，因此：
$BD = \frac{1}{2}AB$ ②
将①代入②，可得：$BD = \frac{1}{2}×\frac{1}{2}BC = \frac{1}{4}BC$，即$BD=\frac{1}{4}BC$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形性质、30°角直角三角形性质
【点评】
本题考查直角三角形中30°角的性质，解题关键是通过同角的余角相等找到相等的角，再逐步推导边的关系，属于基础几何题，需熟练掌握相关性质。
【难度系数】
0.3
【分析】首先，由BA=BC可知△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质，D为AC中点时，BD⊥AC且平分∠ABC；再根据三角形内角和求出∠A的度数，最后在直角三角形ABD中，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”即可求出BD的长度。
【解析】
∵ BA=BC=6，
∴ △ABC是等腰三角形，∠A=∠C。
又
∵ ∠ABC=120°，
∴ ∠A=(180°−∠ABC)÷2=(180°−120°)÷2=30°。
∵ D为AC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，BD⊥AC，即∠ADB=90°，△ABD为直角三角形。
在Rt△ABD中，∠A=30°，
∴ BD=½AB=½×6=3。
【答案】3
【知识点】等腰三角形性质；直角三角形性质
【点评】本题结合等腰三角形的三线合一和含30°角的直角三角形的性质求解，属于基础几何题，考查学生对基本几何性质的掌握。
【难度系数】0.6
【分析】要解决本题，需结合角平分线性质、平行线性质和直角三角形的性质逐步推导：首先过点E作EG⊥OA，利用角平分线性质得到EG=EC；再由EF//OB推出∠OEF=∠BOE，进而求出∠EFG=30°；最后根据直角三角形中30°角的性质，计算出EF的长度。
【解析】过点E作EG⊥OA于点G。
∵ OE平分∠AOB，EC⊥OB，EG⊥OA，
∴ 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得EG = EC = 1。
∵ EF//OB，
∴ ∠OEF = ∠BOE = 15°，
又
∵ ∠AOE = 15°，
∴ ∠EFG = ∠AOE + ∠OEF = 15° + 15° = 30°。
在Rt△EGF中，∠EGF = 90°，∠EFG = 30°，
∴ 由直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，得EG = ½ EF，
因此EF = 2 EG = 2×1 = 2。
【答案】2
【知识点】角平分线的性质；平行线的性质；直角三角形的性质
【点评】本题综合考查几何图形的性质应用，核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合角平分线、平行线的性质转化线段和角度，属于中等难度的几何计算题，需学生熟练掌握相关性质并灵活运用。
【难度系数】0.5
【分析】
要计算BH的长度，需利用等边三角形的性质和直角三角形中30°角的性质逐步推导。首先根据等边三角形的边长和中点条件得到AD的长度，再在直角三角形ADF中，利用30°角对的直角边等于斜边的一半求出AF，进而得到CF；接着在直角三角形FHC中，同理求出CH，最后用BC减去CH即可得到BH。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，AB=BC=AC=4。
∵D是AB的中点，
∴AD=½AB=½×4=2。
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
在Rt△ADF中，∠ADF=90°−∠A=90°−60°=30°，
∴AF=½AD=½×2=1。
∴CF=AC−AF=4−1=3。
∵FH⊥BC，
∴∠FHC=90°，
在Rt△FHC中，∠HFC=90°−∠C=90°−60°=30°，
∴CH=½CF=½×3=3/2。
∴BH=BC−CH=4−3/2=5/2。
【答案】
5/2
【知识点】
等边三角形性质、直角三角形30°角的性质
【点评】
本题结合等边三角形的性质和直角三角形的特殊性质进行线段长度计算，解题关键是利用30°角直角三角形的边的关系逐步推导，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
【分析】
首先在$\mathrm{Rt}△ABE$中，利用直角三角形两锐角互余求出$∠ E=30°$，再根据含$30°$角的直角三角形的性质求出$AB$和$AE$的长度；接着设动点$D$的坐标，结合点$C$在$BE$上，利用向量夹角公式推导$CD$的长度表达式，再根据$D$在$AE$上的范围确定$CD$的取值范围，最后结合选项选出符合的答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$∠ A=90°$，$∠ B=60°$，
$\therefore ∠ E=180°-90°-60°=30°$，
$\because BE=10$，
$\therefore AB=\frac{1}{2}BE=5$，$AE=BE· \sin60°=10× \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$。
设点$D$在$AE$上，坐标为$(0,d)$（$0≤ d≤5\sqrt{3}$），点$C$在$BE$上，坐标为$(x,-\sqrt{3}x+5\sqrt{3})$（$0≤ x≤5$）。
$∠ EDC=30°$，顶点为$D$，向量$\overrightarrow{DE}=(0,5\sqrt{3}-d)$，$\overrightarrow{DC}=(x,-\sqrt{3}x+5\sqrt{3}-d)$，
根据向量夹角公式：$\cos30°=\frac{\overrightarrow{DE}·\overrightarrow{DC}}{|\overrightarrow{DE}|·|\overrightarrow{DC}|}$，
代入化简可得：$CD=5-\frac{d}{\sqrt{3}}$。
$\because 0≤ d≤5\sqrt{3}$，$\therefore 0≤ \frac{d}{\sqrt{3}}≤5$，即$0≤ CD≤5$，又$D$不与$E$重合，故$0＜CD≤5$。
选项中只有$4$在此范围内，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形性质、动点问题、向量夹角
【点评】
本题结合直角三角形的性质和动点的角度关系，通过坐标法推导线段长度的取值范围，需要学生掌握直角三角形的边角关系及向量夹角的应用，是一道几何动点的中档题。
【难度系数】
0.4
【分析】
本题需通过添加辅助线构造等腰三角形和直角三角形求解。首先过点C作CE⊥BD于E，利用CA=CD的等腰三角形性质，得E为AD中点（DE=AE）；再在含60°角的Rt△BCE中，求出BE的长度；最后结合线段关系BE=BA+AE，设AD为未知数，通过方程求解AD的长度。
【解析】
解：过点C作CE⊥BD，垂足为E，
∵ CA=CD，CE⊥AD，
∴ 由等腰三角形三线合一的性质，得 DE = AE。
在Rt△BCE中，∠BEC=90°，∠ABC=60°，BC=16，
∴ ∠BCE=30°，根据直角三角形中30°角对的直角边为斜边的一半，得 BE = ½ BC = ½ ×16 = 8。
设AD的长为x，
∵ 点D在BA的延长线上，
∴ BD = BA + AD → BA = BD - AD = 10 - x。
又
∵ BE = BA + AE，且AE = DE = ½ AD = x/2，
∴ BE = (10 - x) + (x/2) = 10 - x/2。
将BE=8代入，得：
10 - x/2 = 8，
解得：x = 4，即AD的长为4。
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形性质，直角三角形性质，一元一次方程应用
【点评】
本题通过作高构造等腰三角形和含30°角的直角三角形，结合线段关系列方程求解，辅助线的构造是解题关键，考查学生对几何性质的综合运用能力，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
上一页 下一页