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$\frac{7}{3}$
解：
​$ (1) $​如图，连接​$BE$​。
∵​$∠ACB=90°$​，​$∠A=30°$​，
∴​$∠ABC=60°$​。
∵​$DE$​垂直平分​$AB$​，
∴​$BE=AE$​。
∴​$∠ABE=∠A=30°$​。
∴​$∠CBE=∠ABC−∠ABE=30°$​。
∴在​$Rt△BCE$​中，​$BE=2CE$​。
∴​$AE=2CE$​。
​$ (2) △BCD$​是等边三角形，理由如下：
∵​$DE$​垂直平分​$AB$​，
∴​$∠ADE=∠BDE=90°$​。
∵​$∠A=30°$​，
∴在​$Rt△ADE$​中，​$AE=2DE$​。
​$ $​由​$(1)$​知​$AE=2CE$​，
∴​$DE=CE$​。
∴​$∠EDC=∠ECD$​。
∵​$∠DEC=∠A+∠ADE=120°$​，
∴​$∠EDC=∠ECD=\frac {1}{2}(180°-∠DEC)=30°$​。
∴​$∠DCB=∠ACB−∠ECD=60°$​，​$∠BDC=∠BDE−∠EDC=60°$​。
又∵​$∠ABC=60°$​，
∴​$△BCD$​是等边三角形。

解：
​$ (1)$​在​$△ABC$​中，​$∠B=30°$​，​$∠C=90°$​，
∴​$∠A=60°$​，​$AB=2AC$​。
∴​$∠2+∠ADE=120°$​。
∵​$△DEF$​是等边三角形，
∴​$DE=DF$​，​$∠EDF=60°$​。
∴​$∠1+∠ADE=120°$​。
∴​$∠1=∠2$​。
​$ (2) $​如图，过点​$D$​作​$DH⊥AB$​于点​$H$​，则​$∠DHE=∠C=90°$​。
​$ $​在​$△DHE$​和​$△FCD$​中，
​$ \begin {cases} ∠DHE=∠C， \\∠2=∠1， \\DE=FD， \end {cases}$​
∴​$△DHE≌△FCD(\mathrm {AAS})$​。
∴​$HE=CD=5$​。
∴​$HB=HE+BE=5+8=13$​。
∴​$AB=BH+AH=13+AH$​。
​$ $​在​$Rt△ADH$​中，​$∠A=60°$​，
∴​$∠ADH=30°$​。
∴​$AD=2AH$​。
∴​$AC=CD+AD=5+2AH$​。
​$ $​由​$(1)$​知​$AB=2AC$​，
∴​$13+AH=2(5+2AH)$​。
​$ $​解得​$AH=1$​。
∴​$AB=13+1=14$​。

解：
​$ (1)$​
∵​$AB=AC$​，​$∠BAC=120°$​，
∴​$∠B=∠C=\frac {1}{2}×(180°-∠BAC)=30°$​。
∵​$BD=BE$​，
∴​$∠BDE=∠BED=\frac {1}{2}×(180°-∠B)=75°$​。
∵​$AB=AC$​，​$AD$​是边​$BC$​上的中线，
∴​$AD⊥BC$​。
∴​$∠ADB=90°$​。
∴​$∠ADE=∠ADB−∠BDE=15°$​。
​$ (2) $​证明：
∵​$MF$​垂直平分​$CD$​，
∴​$DF=CF$​。
∴​$∠FDC=∠C=30°$​。
∴​$∠AFD=∠C+∠FDC=60°$​。
​$ $​由​$(1)$​知​$AD⊥BC$​，
∴​$∠ADC=90°$​。
∴​$∠DAF=90°−∠C=60°$​，​$∠ADF=90°−∠FDC=60°$​。
∴​$∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°$​。
∴​$△ADF$​是等边三角形。
​$ (3)$​
∵​$MF$​垂直平分​$CD$​，
∴​$∠FMC=90°$​，​$DF=CF$​。
∵​$∠C=30°$​，​$MF=2$​，
∴在​$Rt△FMC$​中，​$CF=2MF=4$​。
∴​$DF=CF=4$​。
∵​$△ADF$​是等边三角形，
∴​$AF=DF=4$​。
∵​$AC=AF+CF=8$​，
∴​$AB=AC=8$​。
【分析】
要解决本题，需利用等腰三角形性质作辅助线构造直角三角形，结合已知条件推导线段关系，通过角度证明三角形全等，最终用方程思想求解CE长度。步骤如下：1. 由AB=BC和∠ABC=120°，得等腰△ABC的底角为30°，作BM⊥AC，利用等腰三角形三线合一得M为AC中点，且BM=½AB；2. 结合AB=2CD，推出BM=CD；3. 计算角度得∠DCE=90°，与∠BME相等，加上对顶角相等，证明△MEB≌△CED；4. 由全等得ME=CE，设CE=x，结合AM=CM列方程求解。
【解析】
过点B作BM⊥AC于点M，则∠BMA=∠BMC=90°。
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠ACB=(180°-120°)÷2=30°，AM=CM（等腰三角形三线合一），
∴在Rt△ABM中，BM=½AB（30°角所对直角边是斜边的一半）。
∵AB=2CD，
∴BM=CD。
∵∠BCD=120°，
∴∠DCE=∠BCD - ∠ACB=120°-30°=90°，
∴∠BME=∠DCE=90°。
又
∵∠MEB=∠DEC（对顶角相等），
∴△MEB≌△CED（AAS），
∴ME=CE。
设CE=x，则ME=x，
∵AE=AM + ME，AM=CM=ME + CE=x + x=2x，
∴7 = 2x + x，
解得x=7/3，
∴线段CE的长为7/3。
【答案】
7/3
【知识点】
等腰三角形性质，全等三角形判定，直角三角形性质
【点评】
本题是几何综合题，需通过作辅助线构造全等三角形，结合等腰三角形性质与方程思想求解，考查学生的几何推理和代数运算能力，解题关键是证明三角形全等。
【难度系数】
0.4
【分析】
第(1)问要证AE=2CE，需利用DE是AB垂直平分线的性质，连接BE后将AE转化为BE，再结合直角三角形中30°角的边的关系推导；第(2)问判断△BCD形状，需结合垂直平分线、直角三角形斜边中线的性质，通过边或角的关系判定。
【解析】
(1) 连接BE。
∵ DE垂直平分AB，
∴ BE = AE，∠ADE = 90°。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴ ∠ABC = 180° - 90° - 30° = 60°。
又
∵ BE = AE，
∴ ∠ABE = ∠A = 30°，
∴ ∠CBE = ∠ABC - ∠ABE = 60° - 30° = 30°。
在Rt△BCE中，∠CBE=30°，
∴ BE = 2CE（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半），
又
∵ BE = AE，
∴ AE = 2CE。
(2) △BCD是等边三角形，理由如下：
∵ DE垂直平分AB，
∴ AD = BD。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴ BC = ½AB，且CD是Rt△ABC斜边AB的中线，故CD = BD = ½AB，
∴ BC = CD = BD，
∴ △BCD是等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）。
【答案】
(1) 证明成立，AE=2CE；(2) △BCD是等边三角形。
【知识点】
线段垂直平分线性质、直角三角形性质、等边三角形判定
【点评】
本题综合考查几何性质的应用，关键是通过辅助线转化边和角的关系，考查逻辑推理能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决本题，分两步分析：
(1) 证明∠1=∠2时，先利用△ABC的内角和与直角三角形性质得出∠A=60°，结合三角形内角和得到∠2与∠ADE的和为120°；再利用等边△DEF的性质，推出∠1与∠ADE的和也为120°，从而证得∠1=∠2。
(2) 求AB长度时，通过作辅助线DH⊥AB构造全等三角形，利用全等性质得到线段长度，再结合直角三角形30°角的性质和AB与AC的关系列方程，求解后计算AB的长。
【解析】
(1) 证明：过点D作$DH⊥AB$于点H，则$∠DHE=∠C=90°$。
在$△ABC$中，$∠C=90°$，$∠B=30°$，
∴$∠A=180°-90°-30°=60°$，且$AB=2AC$。
在$△ADE$中，$∠A=60°$，
∴$∠2+∠ADE=180°-∠A=120°$。
∵$△DEF$是等边三角形，
∴$DE=DF$，$∠EDF=60°$，
∴$∠1+∠ADE=180°-∠EDF=180°-60°=120°$，
∴$∠1=∠2$。
(2) 解：在$△DHE$和$△FCD$中，
$\begin{cases}∠DHE=∠C, \\∠2=∠1, \\DE=FD,\end{cases}$
∴$△DHE≌△FCD$（AAS），
∴$HE=CD=5$，
∴$HB=HE+BE=5+8=13$。
设$AH=x$，在$Rt△ADH$中，$∠A=60°$，
∴$∠ADH=30°$，
∴$AD=2AH=2x$，
∴$AC=CD+AD=5+2x$。
又
∵$AB=2AC$，且$AB=AH+HB=x+13$，
∴$x+13=2(5+2x)$，
解得$x=1$，
∴$AB=1+13=14$。
【答案】
10. (1) 证明见上述解析；(2) AB的长为14。
【知识点】
直角三角形性质、等边三角形性质、全等三角形判定
【点评】
本题综合考查几何图形的性质与全等三角形的应用，需通过作辅助线构造全等关系，结合方程思想求解，注重学生逻辑推理与综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决这道几何综合题，需结合等腰三角形、垂直平分线、等边三角形及直角三角形的性质逐步推导：
1. 第(1)问：先利用等腰△ABC的内角和算出∠B，再由BD=BE得△BDE的底角，结合等腰三角形三线合一（AD是中线）得AD⊥BC，最终通过角的差求出∠ADE。
2. 第(2)问：利用CD的垂直平分线性质得DF=CF，算出∠AFD，再结合AD⊥BC的条件，推出△ADF的三个内角均为60°，从而证明其为等边三角形。
3. 第(3)问：在含30°角的Rt△FMC中，利用直角三角形性质算出CF，再由等边△ADF得AF，进而求出AC，结合AB=AC得到AB的长度。
【解析】
(1)
∵ AB=AC，∠BAC=120°，
∴ ∠B=∠C=½×(180°−120°)=30°。
∵ BD=BE，
∴ ∠BDE=∠BED=½×(180°−30°)=75°。
∵ AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴ AD⊥BC（等腰三角形三线合一），即∠ADB=90°。
∴ ∠ADE=∠ADB−∠BDE=90°−75°=15°。
(2)
∵ MF垂直平分CD，
∴ DF=CF，∠FMC=90°。
∴ ∠FDC=∠C=30°，
∴ ∠AFD=∠C+∠FDC=30°+30°=60°。
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADC=90°，
∴ ∠DAF=90°−∠C=90°−30°=60°，
∠ADF=90°−∠FDC=90°−30°=60°。
∴ ∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，
∴ △ADF是等边三角形。
(3) 在Rt△FMC中，∠C=30°，MF=2，
∴ CF=2MF=2×2=4（直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半）。
∵ DF=CF，
∴ DF=4。
∵ △ADF是等边三角形，
∴ AF=DF=4，
∴ AC=AF+CF=4+4=8。
又
∵ AB=AC，
∴ AB=8。
【答案】
(1) 15°；(2) △ADF是等边三角形；(3) 8
【知识点】
等腰三角形性质，垂直平分线性质，等边三角形判定
【点评】
本题是几何综合题，综合考查多个几何核心性质，需逐步推导角的关系，逻辑清晰，侧重基础性质的应用，是常见的几何题型。
【难度系数】
0.5
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