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D
$60°$或$30°$
11或13
解：
∵等腰三角形的周长为45 cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为$3:2$的两部分，
∴这两部分的周长分别为27 cm，18 cm。
设等腰三角形的腰长为$x$ cm，底边长为$y$ cm。
根据题意，得
$\begin{cases} x+\frac{x}{2}=27 \\ y+\frac{x}{2}=18 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x+\frac{x}{2}=18 \\ y+\frac{x}{2}=27 \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x=18 \\ y=9 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x=12 \\ y=21 \end{cases}$
经检验，$\begin{cases} x=18 \\ y=9 \end{cases}$ 和 $\begin{cases} x=12 \\ y=21 \end{cases}$ 都符合三角形的三边关系。
∴这个等腰三角形的腰长为18 cm或12 cm。
C
$40°$或$70°$或$100°$
D
A
【分析】
等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角为$40°$，该角可能是顶角，也可能是底角，需分两种情况讨论，避免漏解，再结合三角形内角和定理计算顶角的度数。
【解析】
分两种情况计算：
1. 若$40°$的角是顶角，则顶角的度数为$40°$；
2. 若$40°$的角是底角，根据三角形内角和为$180°$，顶角的度数为$180° - 40° × 2 = 100°$；
因此，这个等腰三角形的顶角的度数为$40°$或$100°$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题考查等腰三角形的性质，核心是运用分类讨论思想，明确已知角的两种可能身份，结合三角形内角和计算顶角，属于基础题，需注意避免漏解。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决这个问题，需结合点B在直线b上的不同位置，分情况讨论以O、A、B为顶点的等腰三角形，利用等腰三角形“等边对等角”和三角形内角和定理计算∠OAB的度数，注意避免漏解。
【解析】
已知直线a、b交于O，∠α=60°，因此∠AOB有两种情况：
1. 当点B在直线b上，∠AOB=60°时：
若OA=OB，△OAB为等边三角形，故∠OAB=60°；
若OA=AB，∠AOB=∠ABO=60°，根据三角形内角和，∠OAB=180°-60°-60°=60°；
若OB=AB，∠OAB=∠AOB=60°，仍得∠OAB=60°。
2. 当点B在直线b的另一侧，∠AOB=180°-60°=120°时：
若OA=OB，△OAB中，∠OAB=∠OBA=(180°-120°)÷2=30°；
若OA=AB或OB=AB，会出现两个角之和超过180°的矛盾，不成立。
综上，∠OAB的度数为60°或30°。
【答案】
60°或30°
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和、直线相交的角
【点评】
本题需全面考虑点B在直线上的不同位置，运用分类讨论思想分析等腰三角形的不同腰的情况，易因漏解出错，重点考查几何分类讨论的应用。
【难度系数】
0.4
【分析】
先根据非负数的性质求出a、b的值，再结合等腰三角形的性质分情况讨论边长，最后用三角形三边关系验证能否构成三角形，进而计算周长。具体步骤：1. 利用绝对值和算术平方根的非负性，由和为0得每个非负项均为0，算出a、b的值；2. 等腰三角形两边为3和5，分腰长为3、底为5，和腰长为5、底为3两种情况；3. 验证两种情况是否满足三角形三边关系，再计算对应周长。
【解析】
解：因为绝对值和算术平方根均为非负数，即|a-3|≥0，√(b-5)≥0，又|a-3|+√(b-5)=0，所以：
a-3=0，b-5=0，解得a=3，b=5。
等腰三角形的两边为3和5，分两种情况：
①当腰长为3，底边长为5时，三边长为3、3、5，验证三边关系：3+3＞5，满足三角形三边关系，周长=3+3+5=11；
②当腰长为5，底边长为3时，三边长为5、5、3，验证三边关系：5+3＞5，满足三角形三边关系，周长=5+5+3=13。
综上，三角形的周长是11或13。
【答案】
11或13
【知识点】
非负数的性质、等腰三角形的性质、三角形三边关系
【点评】
本题综合考查非负数性质与等腰三角形的相关知识，解题关键是分情况讨论边长并验证三角形三边关系，避免漏解，是初中数学常见基础题型。
【难度系数】
0.4
【分析】
首先，一腰上的中线将等腰三角形分成两部分，这两部分的周长分别为“腰长+半腰长”和“底边长+半腰长”；已知两部分周长比为3:2，总周长45cm，可先算出两部分的长度；接着设腰长为x cm，底边长为y cm，根据两种不同的周长分配情况列出二元一次方程组；最后解方程组后，需根据三角形三边关系检验解是否合理，排除不符合的情况，得到最终腰长。
【解析】
已知等腰三角形周长为45cm，一腰上的中线将其周长分为3:2的两部分，因此两部分周长分别为：
$45×\frac{3}{3+2}=27\ \mathrm{cm}$，$45×\frac{2}{3+2}=18\ \mathrm{cm}$。
设等腰三角形的腰长为$x\ \mathrm{cm}$，底边长为$y\ \mathrm{cm}$，中线将腰分为两个半腰，长度为$\frac{x}{2}\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
情况1：腰长+半腰长=27 cm，底边长+半腰长=18 cm，列方程组：
$\begin{cases} x + \dfrac{x}{2} = 27 \\ y + \dfrac{x}{2} = 18 \end{cases}$
解得：$x=18$，$y=9$，检验三边：$18+18＞9$，$18+9＞18$，符合三角形三边关系。
情况2：腰长+半腰长=18 cm，底边长+半腰长=27 cm，列方程组：
$\begin{cases} x + \dfrac{x}{2} = 18 \\ y + \dfrac{x}{2} = 27 \end{cases}$
解得：$x=12$，$y=21$，检验三边：$12+12＞21$，$12+21＞12$，符合三角形三边关系。
综上，该等腰三角形的腰长为18 cm或12 cm。
【答案】
18 cm或12 cm
【知识点】
等腰三角形性质、三角形三边关系、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关知识的典型应用，需通过分类讨论分析两种周长分配情况，同时要利用三角形三边关系检验解的合理性，避免漏解或错误解，对学生的逻辑思维和知识应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
【分析】本题需分两种情况讨论等腰三角形的类型（锐角等腰三角形和钝角等腰三角形），因为腰上的高的位置随三角形类型变化：顶角为锐角时，高在三角形内部；顶角为钝角时，高在三角形外部。先根据高与另一腰的夹角求出顶角，再利用三角形内角和定理计算底角度数。
【解析】分两种情况：
1. 若等腰三角形为锐角三角形，腰上的高在三角形内部：
已知高与另一腰的夹角为60°，则顶角 = 90° - 60° = 30°，
底角度数 = (180° - 30°) ÷ 2 = 75°；
2. 若等腰三角形为钝角三角形，腰上的高在三角形外部：
高与另一腰的延长线夹角为60°，此时顶角的外角为90° - 60° = 30°，
故顶角 = 180° - 30° = 150°，
底角度数 = (180° - 150°) ÷ 2 = 15°；
综上，底角度数为15°或75°，对应选项C。
【答案】C
【知识点】等腰三角形性质、三角形内角和、分类讨论思想
【点评】本题考查等腰三角形的分类讨论，关键在于考虑高在三角形内部和外部两种情况，避免漏解，是易错题，需全面分析。
【难度系数】0.5
【分析】要解决这个问题，需明确等腰三角形的腰不确定，因此要分三种情况讨论：OA=OP、AO=AP、PO=PA，再结合等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，计算对应∠A的度数，避免漏解。
【解析】分三种情况讨论：
1. 当OA=OP时，△AOP为等腰三角形，此时∠A=∠APO。已知∠AOD=40°，根据三角形内角和为180°，得∠A=(180°-40°)÷2=70°；
2. 当AO=AP时，△AOP为等腰三角形，此时∠APO=∠AOD=40°，则∠A=180°-40°-40°=100°；
3. 当PO=PA时，△AOP为等腰三角形，此时∠A=∠AOD=40°；
综上，∠A的度数为40°或70°或100°。
【答案】40°或70°或100°
【知识点】等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】本题考查等腰三角形的分类讨论，需全面考虑不同腰的情况，避免漏解，是基础的几何分类讨论题，能检验学生思维的全面性。
【难度系数】0.5
【分析】
要解决该问题，需分两步分析：首先利用网格确定线段AB的长度，再分两种情况（以A为顶点、以B为顶点，将AB作为等腰三角形的腰），在5×5网格中寻找符合条件的格点C，需保证C不与A、B重合，且三点不共线以构成三角形。
步骤1：计算AB长度：由网格中A、B的位置，横向间隔1格，纵向间隔3格，根据勾股定理得AB=√(1²+3²)=√10。
步骤2：分情况找格点：①以A为圆心、AB为半径作圆，圆上的格点即为满足AB=AC的点，排除B点后统计；②以B为圆心、AB为半径作圆，圆上的格点即为满足AB=BC的点，排除A点后统计；最后合并两种情况的有效点，得到总个数。
【解析】
1. 计算AB的长度：在5×5网格中，点A与点B的横向距离为1，纵向距离为3，根据勾股定理，AB=√(1²+3²)=√10。
2. 情况1：AB为腰，且AB=AC，即点C在以A为圆心、半径为√10的圆上，且为格点，不与B重合。在网格范围内，满足条件的格点有3个。
3. 情况2：AB为腰，且AB=BC，即点C在以B为圆心、半径为√10的圆上，且为格点，不与A重合。在网格范围内，满足条件的格点有3个。
4. 两种情况合计，共6个符合条件的格点C，且均能构成三角形，无重复或共线的情况。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、等腰三角形判定、格点几何
【点评】
本题结合网格考查等腰三角形的判定，核心是分情况讨论以AB为腰的两种情形，利用勾股定理确定圆上格点，需注意在网格边界内筛选，避免无效点，是几何网格题的典型考法，需细致分析。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决在坐标轴上找点C使△ABC为等腰三角形的问题，需分两类讨论点C在x轴、y轴上，结合等腰三角形的三种判定条件（AB=AC、AB=BC、AC=BC）列方程求解，同时排除重复的点，避免漏解或多解。
步骤：1. 先计算AB的长度；2. 设坐标轴上点C的坐标，分三种等腰情况列方程；3. 汇总有效点，排除重复项。
【解析】
已知A(2,2)，B(4,0)，计算AB的长度：
AB=√[(4-2)²+(0-2)²]=2√2，故AB²=8。
1. 点C在x轴上，设C(x,0)
AC²=(x-2)²+(0-2)²=(x-2)²+4，BC²=(x-4)²。
若AC=BC：(x-2)²+4=(x-4)² → 解得x=2，得C₁(2,0)；
若AC=AB：(x-2)²+4=8 → (x-2)²=4 → x=0或x=4，x=4与B重合，舍去，得C₂(0,0)；
若BC=AB：(x-4)²=8 → x=4±2√2，得C₃(4+2√2,0)、C₄(4-2√2,0)；
x轴上共4个有效点。
2. 点C在y轴上，设C(0,y)
AC²=(0-2)²+(y-2)²=4+(y-2)²，BC²=(0-4)²+y²=16+y²。
若AC=BC：4+(y-2)²=16+y² → 解得y=-2，得C₅(0,-2)；
若AC=AB：4+(y-2)²=8 → (y-2)²=4 → y=0或y=4，y=0是x轴上的C₂(0,0)（重复），舍去，得C₆(0,4)；
若BC=AB：16+y²=8 → 无解；
y轴上新增2个有效点（排除重复的C₂）。
汇总所有有效点：C₁、C₃、C₄、C₅、C₆，共5个。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形判定、平面直角坐标系中点的坐标、两点间距离公式
【点评】
本题是等腰三角形在平面直角坐标系中的存在性问题，需分坐标轴讨论，结合方程求解，重点考查数形结合思想和分类讨论能力，易因忽略重复点出错。
【难度系数】
0.5
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