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【分析】本题可采用两种方法计算：解法一为常规运算思路，先将括号内的分数通分，计算出括号内加减运算的结果，再根据有理数除法法则（除以一个非零数等于乘这个数的倒数）计算最终结果；解法二为巧算思路，利用倒数的性质，先计算原式的倒数，将除法转化为乘法后运用乘法分配律简化计算，最后对结果取倒数即可得到原式的答案，该方法可减少通分的计算量，降低出错概率。
【解析】
解法一：
$\begin{aligned}&\quad(-\dfrac{1}{84}) ÷ (\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{14}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{7}) \\&= (-\dfrac{1}{84}) ÷ (\dfrac{7}{42}-\dfrac{15}{42}+\dfrac{14}{42}-\dfrac{18}{42}) \\&= (-\dfrac{1}{84}) ÷ (-\dfrac{12}{42}) \\&= (-\dfrac{1}{84}) × (-\dfrac{42}{12}) \\&=\dfrac{1}{24}\end{aligned}$
解法二：
先计算原式的倒数：
$\begin{aligned}&\quad(\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{14}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{7}) ÷ (-\dfrac{1}{84}) \\&= (\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{14}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{7}) × (-84) \\&=\dfrac{1}{6}×(-84) - \dfrac{5}{14}×(-84) + \dfrac{1}{3}×(-84) - \dfrac{3}{7}×(-84) \\&=-14+30-28+36 \\&=24\end{aligned}$
所以原式$=\dfrac{1}{24}$
【答案】
$\dfrac{1}{24}$
【知识点】
有理数混合运算；乘法分配律；倒数的应用
【点评】
本题是有理数巧算的典型题目，常规解法思路直接但通分步骤较多，倒数法结合乘法分配律的计算方式更简便，能有效提升计算效率和准确率，平时练习可以多尝试巧用运算定律简化计算。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 本题是连续负整数的求和问题，逐项计算计算量极大，可采用倒序相加的思路：先设原式的和为S，再将S的各项倒过来排列，把两个式子对应位置相加，可发现每一组的和都相等，用组数乘每组的和即可得到2S的值，进而求出S。
(2) 本题算式中后一项均为前一项的5倍，直接计算不现实，可采用错位相减的思路：先设原式的和为S，将S的每一项都乘5得到新的式子，再将两个式子相减，中间大部分相同的项会抵消，即可快速求出S的值。
【解析】
(1) 设$S=-1-2-3-4-\dots-199-200$ ①，
将①中各项倒序排列，可得$S=-200-199-198-\dots-2-1$ ②，
①+②得：$2S=(-1-200)+(-2-199)+(-3-198)+\dots+(-200-1)$，每组的和均为-201，共200组，
即$2S=-201×200=-40200$，
解得$S=-20100$。
(2) 设$S=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{217}+5^{218}$ ①，
将①两边同时乘5，可得$5S=5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{218}+5^{219}$ ②，
用②减去①，得：$5S - S = (5+5^2+\dots+5^{219}) - (1+5+\dots+5^{218})$，中间相同项全部抵消，
即$4S=5^{219}-1$，
解得$S=\dfrac{5^{219}-1}{4}$。
【答案】
(1) $\boxed{-20100}$；(2) $\boxed{\dfrac{5^{219}-1}{4}}$
【知识点】
有理数巧算，倒序相加法，错位相减法
【点评】
这两道是求和类巧算的典型题，分别对应倒序相加、错位相减两种常用巧算技巧，熟练掌握后可快速解决同类连续求和问题，大幅降低计算量，避免逐项计算的失误。
【难度系数】
0.6

【分析】观察算式可发现，每一项都是前一项的$\dfrac{1}{2}$，项数多且分母是2的高次幂，直接通分计算非常繁琐。我们可以采用错位相减法求解：先设整个算式的和为$S$，再将等式两边同时乘$\dfrac{1}{2}$得到新的等式，两个等式中大部分项是重复的，相减后可以消去中间的重复项，只剩首尾两项，即可快速算出$S$的值。
【解析】
设$S=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dots+\dfrac{1}{2^{2026}}$ ①，
将①的左右两边同时乘$\dfrac{1}{2}$，得：
$\dfrac{1}{2}S=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^4}+\dots+\dfrac{1}{2^{2027}}$ ②，
用①减去②，左边为$S-\dfrac{1}{2}S=\dfrac{1}{2}S$，右边中间的相同项全部抵消，剩余$1-\dfrac{1}{2^{2027}}$，即：
$\dfrac{1}{2}S=1-\dfrac{1}{2^{2027}}$，
等式两边同时乘2，得$S=2-\dfrac{1}{2^{2026}}$。
【答案】
$2-\dfrac{1}{2^{2026}}$
【知识点】
有理数巧算；错位相减法；乘方运算
【点评】
本题是有理数连加巧算的典型题型，核心是利用错位相消的思路消除大量重复的中间项，大幅简化计算，避免了高次幂通分的繁琐操作，掌握该方法可高效解决同类型的等比型连加问题。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题考查有理数的巧算，解题思路如下：①对于前2小问的带分数加减运算，参照给出的拆项法，把每个带分数拆成“整数部分+分数部分”的形式，再将所有整数部分合并计算、所有分数部分合并计算，最后把两部分的结果相加，避免直接通分计算的繁琐；②对于第(3)小问的分数加减，观察每个分数的特征：分母是相邻两个正整数的乘积，分子是这两个正整数的和，因此可以把每个分数拆成两个相邻自然数倒数的和，拆分后中间互为相反数的项可以相互抵消，仅需计算剩余的首尾项即可得到结果。
【解析】
(1) 利用拆项法拆分带分数，分别合并整数、分数部分：
原式$=[(-17)+(-\dfrac{2}{3})]+(16+\dfrac{3}{4})+[(-15)+(-\dfrac{1}{3})]+[(-2)+(-\dfrac{1}{2})]$
$=[(-17)+16+(-15)+(-2)]+[(-\dfrac{2}{3})+\dfrac{3}{4}+(-\dfrac{1}{3})+(-\dfrac{1}{2})]$
整数部分计算：$(-17)+16+(-15)+(-2)=-18$
分数部分计算：$(-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3})+(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2})=-1+\dfrac{1}{4}=-\dfrac{3}{4}$
两部分相加：$-18+(-\dfrac{3}{4})=-18\dfrac{3}{4}$
(2) 同理用拆项法计算：
原式$=[(-2000)+(-\dfrac{5}{6})]+[(-1999)+(-\dfrac{2}{3})]+(4000+\dfrac{2}{3})+[(-1)+(-\dfrac{1}{2})]$
$=[(-2000)+(-1999)+4000+(-1)]+[(-\dfrac{5}{6})+(-\dfrac{2}{3})+\dfrac{2}{3}+(-\dfrac{1}{2})]$
整数部分计算：$(-2000)+(-1999)+4000+(-1)=0$
分数部分计算：$(-\dfrac{5}{6})+(-\dfrac{1}{2})+[(-\dfrac{2}{3})+\dfrac{2}{3}]=-\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{6}=-\dfrac{4}{3}$
两部分相加：$0+(-\dfrac{4}{3})=-\dfrac{4}{3}$
(3) 利用裂项法拆分每个分数：
观察得$\dfrac{3}{2}=1+\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{7}{12}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}$……$\dfrac{19}{90}=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}$，代入原式得：
原式$=(1+\dfrac{1}{2}) - (\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}) + (\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}) - (\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}) + \dots + (\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10})$
去括号后中间项抵消：$1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dots+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}=1+\dfrac{1}{10}=1\dfrac{1}{10}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-18\dfrac{3}{4}}$；
(2) $\boldsymbol{-\dfrac{4}{3}}$；
(3) $\boldsymbol{1\dfrac{1}{10}}$
【知识点】
拆项法巧算，裂项相消，有理数加减运算
【点评】
本题侧重考察有理数运算的简便技巧，前两题通过拆项法拆分带分数，分别合并整数、分数部分简化运算，第三题通过裂项拆分分数实现中间项抵消，大幅降低计算量，熟练掌握这类巧算方法能有效提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.65