第71页 - 通城学典课时作业本七年级数学苏科版江苏专用

C

$(n+1)x^{n}$

7或8

C

1222

1

127

【分析】
解决这类数字规律探究题，首先要将数列中的每个数和它对应的位置序号（第1个、第2个……第n个）对应起来，通过对已知数变形寻找统一的运算规则：观察给出的前4个数，可发现每个数都能拆成“序号×(序号+1)-1”的形式，总结出第n个数的通用表达式后，将n=7代入表达式计算即可得到第7个数的值。
【解析】
我们将已知数和对应序号对应分析：
第1个数：$1=1×(1+1)-1=1×2-1第2个数：$5=2×(2+1)-1=2×3-1
第3个数：$11=3×(3+1)-1=3×4-1第4个数：$19=4×(4+1)-1=4×5-1
……
由此可归纳出，第n（n为正整数）个数的表达式为$\boldsymbol{n(n+1)-1}$。
当求第7个数时，令$n=7$，代入表达式得：
$7×(7+1)-1=7×8-1=56-1=55$
【答案】C
【知识点】数字规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】本题是规律探究类的常见题型，解题关键是通过已知数找到数与对应序号的运算关系，归纳出通用的代数式后再代入指定序号计算，掌握找规律的基本思路就能快速作答。
【难度系数】0.7

【分析】
解决这类代数式规律探究题，可将每个单项式拆分为系数和含字母的部分，分别找两部分的变化规律，再合并得到第n个代数式。第一步先观察系数：第1个式子系数是2，第2个是3，第3个是4……可发现系数比式子的序号大1，即第n个的系数为n+1；第二步观察x的指数：第1个式子x的指数是1，第2个是2，第3个是3……可知第n个式子x的指数就是n；最后将两部分组合即可得到结果。
【解析】
逐个分析给出的代数式：
第1个代数式：$2x=(1+1)x^{1}$
第2个代数式：$3x^{2}=(2+1)x^{2}$
第3个代数式：$4x^{3}=(3+1)x^{3}$
第4个代数式：$5x^{4}=(4+1)x^{4}$
……
按照该规律，第n（n为正整数）个代数式的系数为$n+1$，x的次数为$n$，因此第n个代数式为$(n+1)x^{n}$。
【答案】
$(n+1)x^{n}$
【知识点】
代数式规律探究，单项式的系数与次数，用字母表示数
【点评】
这是规律探究类的基础题型，解题核心是将单项式拆解为系数、字母指数两个独立部分分别寻找规律，再整合得到通用表达式，掌握拆分找规律的方法可以快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先明确数列生成规则：从第三项起，每一项均为前两项差的绝对值。先代入较小的正整数x验证，可发现x≤3时前101项中0的数量超过30，不符合要求。接下来观察x＞3时的数列特征，可知数列分为两部分：前面的非循环段和出现0之后的“1,1,0”循环段，每个循环含1个0。再分x为偶数、奇数两类情况讨论，结合总个数101和0的个数30，先计算非循环段的长度，反推即可得到x的值。
【解析】
先验证x≤3的情况：
x=1时，数列为1,1,0,1,1,0…每3个一循环，101÷3=33余2，共33个0，不符合要求；
x=2时，数列为1,2,1,1,0,1,1,0…前3项无0，剩余98项共32个0，总0数为32，不符合要求；
x=3时，数列为1,3,2,1,1,0,1,1,0…前4项无0，剩余97项共32个0，总0数为32，不符合要求；
故x＞3，分两类讨论：
① 当x为大于3的偶数时，数列形式为：1，x，x-1，1，x-2，x-3，1，x-4，x-5，…，1，2，1，1，0，1，1，0…
规律为每3个数为一组，每组第一个数为1，后两个数从x开始依次减1，直到减到1后进入“1,1,0”的循环，每个循环含1个0。
101÷3=33组余2个数，要总共有30个0，说明循环部分有30个0，对应非循环的组数为4组，即x=2×4=8。
验证：前4组共12个数无0，剩余101-12=89个数，89÷3=29余2，含29+1=30个0，符合要求。
② 当x为大于3的奇数时，数列形式为：1，x，x-1，1，x-2，x-3，…，1，3，2，1，1，0，1，1，0…
规律为每3个数为一组，每组第一个数为1，后两个数从x开始依次减1，直到减到2后进入“1,1,0”的循环，每个循环含1个0。
101÷3=33组余2个数，要总共有30个0，对应非循环的组数为3组，即x=2×3+1=7。
验证：前3组共9个数无0，剩余101-9=92个数，92÷3=30余2，含30个0，符合要求。
【答案】
7或8
【知识点】
数字规律探究，绝对值的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是典型的数列规律探究题，解题核心是通过枚举归纳出数列的周期特征，结合分类讨论思想，根据0的个数反向推导参数x的取值，能有效考查学生的归纳推理和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.3

【分析】
首先观察数阵特征：数阵由连续正偶数组成，第n行有n个数。先找每行最后一个数的规律：第1行最后一个数为2=1×2，第2行最后一个数为6=2×3，第3行最后一个数为12=3×4，以此类推可得第(n-1)行的最后一个数为n(n-1)。要求第n行左起第3个数，就是在第(n-1)行末尾数的基础上往后加3个2（相邻偶数差2），即可得到第n行左起第3个数的表达式为n(n-1)+6。最后将四个选项分别代入表达式，若存在≥3的整数n使等式成立则符合要求，否则即为不可能的数。
【解析】
观察数阵中每行的最后一个数：
第1行最后1个数：$2=1×2$
第2行最后1个数：$6=2×3$
第3行最后1个数：$12=3×4$
第4行最后1个数：$20=4×5$
……
由此可得，第k行最后一个数为$k(k+1)$，则第$(n-1)$行的最后一个数为$(n-1)n$。
因为数阵中相邻两个数相差2，因此第n行从左到右的数依次为$(n-1)n+2$、$(n-1)n+4$、$(n-1)n+6$……，即第$n(n≥3)$行从左至右第3个数可表示为$n(n-1)+6$。
分别验证各选项：
当$n=6$时，$n(n-1)+6=6×5+6=36$，36符合要求；
当$n=10$时，$n(n-1)+6=10×9+6=96$，96符合要求；
当$n=15$时，$n(n-1)+6=15×14+6=216$，当$n=16$时，$n(n-1)+6=16×15+6=246$，226介于216和246之间，没有符合条件的整数n，不符合要求；
当$n=21$时，$n(n-1)+6=21×20+6=426$，426符合要求。
因此第n行从左至右第3个数不可能是226。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类题型，解题关键是通过观察特殊位置的数归纳出通用规律，推导得到目标位置数的表达式，再通过代入验证排除错误选项，考查学生的观察归纳能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
解决这道题首先要观察数阵的排列规律：第一步先观察每行的第一个数，第1行第1个数是$1=1^2$，第2行第1个数是$4=2^2$，第3行第1个数是$9=3^2$，第4行第1个数是$16=4^2$，可归纳得出第n行的第1个数是$n^2$的规律；第二步观察同一行的数字变化，发现每行数字从左到右依次递减1，因此同一行第k列的数等于该行第一个数减去$(k-1)$，最后代入行数、列数计算即可得到结果。
【解析】
解：观察数阵可得规律：
① 第n（n为正整数）行的第1个数为$n^2$；
② 同一行的数字从左到右依次减1，即第k列的数 = 该行第1个数$-(k-1)$。
当行数为35，列数为4时：
第35行第1个数为$35^2=1225$，
因此第35行第4列的数为$1225-(4-1)=1225-3=1222$。
【答案】
1222
【知识点】
数阵规律探究；有理数乘方运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题型，解题核心是通过观察特殊位置的数字特征归纳出通用规律，再代入对应参数求解，能有效锻炼观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
遇到这类含取整函数的递推数列求项的问题，直接推导第2026项难度较大，我们可以先从计算前若干项入手：首先根据给出的递推公式，依次算出$x_2$、$x_3$、$x_4$…等前几项，观察数列的变化规律，找到其循环周期；再用总项数除以周期，根据余数确定所求项对应周期内的位置，即可求出结果。
【解析】
已知$x_1=1$，根据递推公式依次计算：
$x_2=1+1-5×([\frac{1}{5}]-[\frac{0}{5}])=1+1-5×0=2$
$x_3=2+1-5×([\frac{2}{5}]-[\frac{1}{5}])=2+1-5×0=3$
$x_4=3+1-5×([\frac{3}{5}]-[\frac{2}{5}])=3+1-5×0=4$
$x_5=4+1-5×([\frac{4}{5}]-[\frac{3}{5}])=4+1-5×0=5$
$x_6=5+1-5×([\frac{5}{5}]-[\frac{4}{5}])=5+1-5×1=1$
$x_7=1+1-5×([\frac{6}{5}]-[\frac{5}{5}])=1+1-5×0=2$
……
可发现数列按1、2、3、4、5五个数为一组循环出现，周期为5。
计算$2026÷5=405······1$，即2026除以5余数为1，对应周期里的第一个数，因此$x_{2026}=1$。
【答案】
1
【知识点】
数列规律探究，周期问题，取整函数应用
【点评】
本题结合取整函数考查数字规律的探究能力，解题的核心是通过计算前几项找到数列的循环周期，再利用周期快速求解，只要掌握规律探究的基本方法就能轻松解题。
【难度系数】
0.7

【分析】
遇到这类图形规律题，我们可以按照“数数量→找规律→代值算”的步骤思考：首先先统计前几个已知图形的正方形个数，得到一组数字；再观察这组数字的特征，推导和图形序号对应的通用规律表达式；最后把要求的图形序号代入表达式计算，就能得到结果。本题我们先数出图①到图④的正方形个数分别是1、3、7、15，观察发现这组数字都符合“2的序号次方减1”的特征，总结出通用规律后代入n=7计算即可。
【解析】
先统计各图的正方形个数：
图①中正方形的个数：$1=2^1-1$
图②中正方形的个数：$3=2^2-1$
图③中正方形的个数：$7=2^3-1$
图④中正方形的个数：$15=2^4-1$
由此归纳规律：第$n$个图形中正方形的个数为$2^n-1$
当$n=7$时，$2^7-1=128-1=127$
【答案】
127
【知识点】
图形规律探究，乘方运算，代数式求值
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题核心是通过前几个图形的数量特征归纳出通用规律，能有效考查学生的观察能力、归纳总结能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7