【分析】
本题是基于新定义的进位制转换的应用型题目，解题时首先需读懂材料给出的进制转换规则：①k进制数转十进制数，只需将每个数位上的数字乘k的对应次幂（从右往左次幂从0开始递增）再相加；②十进制数转k进制数，只需将数拆成k的各次幂的乘加形式，对应系数就是各数位的数字。具体解题时：任务一直接套用二进制与十进制转换规则计算；任务二将规则推广到a进制，按要求展开或整理即可；任务三先将等式两边的不同进制数统一转为十进制，列出关于m、n的方程，再结合进制的数位取值限制（五进制数位数字≤4，四进制数位数字≤3，首位不为0）求出m、n的整数解，最后代入所求式子转为十进制计算即可。
【解析】
任务一
(1) 根据二进制转十进制规则计算：
$(101)_2=1×2^2+0×2^1+1×2^0=4+0+1=5$
(2) 把7拆分为2的幂的和：
$7=4+2+1=1×2^2+1×2^1+1×2^0$，对应二进制数为$(111)_2$
任务二
(1) 按照a进制转十进制的规则展开：
$(1323)_a=1×a^3+3×a^2+2×a^1+3×a^0=a^3+3a^2+2a+3$
(2) 把k整理为a的幂的乘加形式：
$k=a^3+3a^2+1=1×a^3+3×a^2+0×a^1+1×a^0$，对应a进制数为$(1301)_a$
任务三
(1) 先将等式左边的数转为十进制：
$(mm4)_5=m×5^2+m×5^1+4×5^0=30m+4$
$(nn2)_4=n×4^2+n×4^1+2×4^0=20n+2$
代入等式得$30m+4+20n+2=126$，化简为$3m+2n=12$
结合数位限制：五进制首位$0＜m≤4$，四进制首位$0＜n≤3$，且m、n为正整数，得唯一解$m=2,n=3$
再将所求式子转为十进制计算：
$(28)_9=2×9+8=26$，$(35)_6=3×6+5=23$，相加得$26+23=49$
(2) 同理先转十进制列方程：
$30m+4-(20n+2)=62$，化简为$3m-2n=6$
结合$0＜m≤4$，$0＜n≤3$，得唯一正整数解$m=4,n=3$
计算所求式子的十进制结果：
$(48)_9=4×9+8=44$，$(35)_6=23$，相加得$44+23=67$
【答案】
任务一：(1) 5；(2) 111
任务二：(1) $a^3+3a^2+2a+3$；(2) 1301
任务三：(1) 49；(2) 67
【知识点】
进位制转换，代数式运算，二元一次方程整数解
【点评】
本题属于新定义阅读理解题，需要先准确理解材料给出的进位制转换规则，再灵活运用规则完成不同进制数的转换、方程建立与参数求解，既考查信息提取与迁移应用能力，也考查代数运算和整数解的分析能力，解题时需注意不同进制下数位的取值限制，避免漏解错解。
【难度系数】
0.7
