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B
$4.5×10^7$
$x^2y+x$
两点之间，线段最短
$\frac{x+5}{2}=x-5$
＞
$50°$或$10°$
$40°$
①②③
85或100
18或27
【分析】
解题时先从已知的垂直和平行关系入手推导角的度数：首先由FG⊥EH、FD//EH可推出∠GFD=90°，再结合AB//CD得到∠D=∠BFD，结合平角为180°和∠AFG=2∠D的条件，可计算出∠D的度数，判断①是否正确；再利用平行线的性质得到∠EHC和∠D的关系，验证③是否成立；最后注意题干没有给出FH相关的角度限定，无法推导FH、FD是对应角的平分线，即可判断②④的正误，最终选出正确选项。
【解析】
解：
∵ FG⊥EH，
∴ ∠FGE=90°，
又
∵ FD//EH，
∴ ∠GFD = 180° - ∠FGH = 90°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠AFG + ∠BFD = 180° - ∠GFD = 90°，
∵ ∠AFG=2∠D，且AB//CD，
∴ ∠D=∠BFD（两直线平行，内错角相等），
代入得2∠D + ∠D = 90°，解得∠D=30°，故①正确；
∵ FD//EH，
∴ ∠EHC=∠D=30°（两直线平行，同位角相等），
∴ 2∠D + ∠EHC = 2×30° + 30° = 90°，故③正确；
题干未给出FH平分∠BFD或∠GFD的相关条件，∠HFD的大小无法确定，因此FD平分∠HFB、FH平分∠GFD的结论均不成立，故②④错误。
综上，正确的结论是①③。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义，角度运算
【点评】
本题是平行线与角度计算的综合题，解题关键是结合平行、垂直的性质推导角的数量关系，需要注意无依据的角平分线结论不能随意认定，避免误判。
【难度系数】
0.6
【分析】
本题考查科学记数法的应用，解题思路如下：首先明确科学记数法的定义：把一个大于10的数表示为$a×10^n$的形式，其中要求$1≤|a|＜10$，$n$为正整数。第一步先确定$a$的值，需要将原数的小数点向左移动到最高位非零数字后面，得到的数就是$a$；第二步数出小数点移动的位数，移动的位数就是$n$的值，最后组合成$a×10^n$的形式即可。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数。
对于数字45000000：
1. 确定$a$：将45000000的小数点向左移动7位，得到4.5，满足$1≤4.5＜10$，故$a=4.5$；
2. 确定$n$：小数点一共向左移动了7位，故$n=7$。
因此45000000用科学记数法表示为$4.5×10^7$。
【答案】
$4.5×10^7$
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题属于基础题型，考查科学记数法表示较大数的方法，解题的核心是准确确定$a$的取值和$n$的数值，熟练掌握科学记数法的定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
【分析】
要写出符合要求的式子，需先抓住两个核心限制条件：①是仅含字母x、y的二项式，也就是式子由两个只含x、y的单项式组合而成；②多项式次数为3，即两个单项式里次数最高的项的次数等于3。首先回忆单项式次数的计算规则：单项式中所有字母的指数和就是该单项式的次数，我们可以先构造一个次数为3、仅含x、y的单项式，再搭配一个次数不超过3、仅含x、y的单项式，二者组合即可得到符合要求的二项式。
【解析】
首先明确相关定义：
1. 二项式：由两个单项式组成的多项式；
2. 多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数；
3. 单项式的次数：单项式中所有字母的指数和。
第一步，构造最高次项：写出1个次数为3、仅含x、y的单项式，例如$x^2y$，它的次数为$2+1=3$，满足最高次要求；
第二步，添加另一个仅含x、y、次数不超过3的单项式，例如$x$，它的次数为1，不超过3；
将两个项组合得到$x^2y+x$，完全符合题干所有要求，也可写出$xy^2+y$、$x^3-y$等其他符合要求的式子。
【答案】
答案不唯一，如 $x^2y+x$
【知识点】
多项式的次数；二项式的定义；单项式的次数
【点评】
本题属于开放性基础题，解题的关键是准确掌握多项式的相关概念，严格紧扣题干给出的限制条件构造式子即可，答案不唯一。
【难度系数】
0.8
【分析】
解题时首先结合题目场景提炼数学模型：我们可以将隧道两端的两个地点抽象为平面中的两个点，原本绕山的道路是连接这两个点的曲线或折线，开挖隧道取直道路后，路径变为连接两点的线段，路程缩短的原因对应线段的核心性质，由此即可定位到对应的数学原理。
【解析】
把隧道的两个端点看作平面内的两个点，根据线段的性质：两点之间的所有连线中，线段的长度最短。开挖隧道将道路取直，就是把两点之间的路径变为线段，从而达到缩短路程的目的，因此体现的数学原理是两点之间，线段最短。
【答案】
两点之间，线段最短
【知识点】
线段的基本性质
【点评】
本题以生活中高速公路修隧道的实际场景为载体，考查数学知识在实际生活中的应用，引导学生学会用数学视角观察生活现象，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.9
【分析】
解题时首先结合题干所设的未知数，先表示出绳索的总长度，再根据对折量竿的条件找到等量关系即可列出方程。第一步：已知竿子长为$x$尺，由“绳索比竿子长5尺”，可直接用含$x$的式子表示绳索的总长度；第二步：绳索对折后长度为原长度的一半，再根据“对折后量竿比竿子短5尺”，可得等量关系：对折后的绳索长度=竿子长度-5，代入对应表达式即可得到方程。
【解析】
设竿子长为$x$尺，
1. 根据“绳索比竿子长5尺”，可得绳索总长度为$x+5$尺；
2. 绳索对折后的长度为原长度的一半，即$\frac{x+5}{2}$尺；
3. 根据“对折后量竿，绳索比竿子短5尺”的等量关系：对折后绳索长度=竿长-5，代入表达式可列方程为$\frac{x+5}{2}=x-5$。
【答案】
$\frac{x+5}{2}=x-5$
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系寻找
【点评】
本题以古代数学问题为背景，解题核心是准确理解两种量竿方式的含义，正确用含未知数的式子表示绳索的原长和对折后的长度，找准等量关系即可顺利列方程。
【难度系数】
0.7
【分析】
要比较∠AOB和∠COD的大小，我们可以借助网格的特点，以特殊角45°为参照进行判断。首先观察∠AOB：它对应的直角三角形两条直角边长度相等，可知∠AOB是45°；再观察∠COD，对比45°角的倾斜程度，判断它和45°的大小关系，就能得出两个角的大小。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 分析∠AOB：点A到水平线BD的竖直距离为1，点A到O点的水平距离也为1，所以包含∠AOB的直角三角形两条直角边长度相等，因此∠AOB=45°。
2. 分析∠COD：点C到水平线BD的竖直距离为2，点C到O点的水平距离为3。如果是45°角，水平走3格时竖直高度应该为3格，现在竖直高度只有2格，说明OC更靠近水平线OD，因此∠COD＜45°。
综上可得，∠AOB＞∠COD。
【答案】
＞
【知识点】
角的大小比较，网格图形的应用
【点评】
本题是网格背景下的角的大小比较题，解题核心是利用网格边长相等的特点，以特殊角为参照快速判断角的大小，解题方法灵活，也可通过叠合法等其他方法验证结论。
【难度系数】
0.8
【分析】
本题需要结合射线OC的位置不确定性分类讨论求解，避免漏解。首先明确已知角的度数，先判断射线OC的两种可能位置：①OC与OA在OB的两侧；②OC与OA在OB的同侧。再分别计算两种情况下∠AOC的度数，最后根据角平分线的定义求出∠DOA的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当射线OC与OA位于OB的两侧时：
∠AOC = ∠AOB + ∠COB = 40° + 60° = 100°
∵OD是∠COA的平分线
∴∠DOA = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×100° = 50°
2. 当射线OC与OA位于OB的同侧时：
∠AOC = ∠COB - ∠AOB = 60° - 40° = 20°
∵OD是∠COA的平分线
∴∠DOA = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×20° = 10°
综上，∠DOA的度数为50°或10°。
【答案】
$50°或10°$
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，分类讨论思想
【点评】
本题是角计算类的典型易错题，解题的核心是要考虑到射线位置的多种可能性，结合题意画出所有符合要求的图形再逐一计算，能有效避免漏解。
【难度系数】
0.6
【分析】
解题时先设这个角的度数为未知数，根据余角（两个角的和为90°）、补角（两个角的和为180°）的定义，分别表示出这个角的余角和补角，再结合题目给出的“补角加10°等于余角的3倍”这一等量关系列一元一次方程，最后解方程即可求出这个角的度数。
【解析】
解：设这个角的度数为$ x° $。
根据补角的定义，这个角的补角为$ (180 - x)° $；根据余角的定义，这个角的余角为$ (90 - x)° $。
由题意可列方程：
$ (180 - x) + 10 = 3(90 - x) $
整理得：
$ 190 - x = 270 - 3x $
移项得：
$ 3x - x = 270 - 190 $
合并同类项得：
$ 2x = 80 $
系数化为1得：
$ x = 40 $
【答案】
$ 40° $
【知识点】
余角与补角的定义，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础的角度计算题型，解题关键是熟练掌握余角、补角的概念，准确提取题干中的等量关系列方程求解，掌握方程思想在几何计算中的应用即可快速解题。
【难度系数】
0.8
【分析】
解题时需结合正方体不同的剪开展开方式，逐一判断三种位置关系是否存在对应的展开情况，不要局限于单一的正方体展开图，充分发挥空间想象能力，分别验证AB与CB垂直、平行、共线这三种关系能否实现。
【解析】
我们根据不同的棱剪开方式得到的展开图分别分析：
1. 当包含AB的面和包含CB的面展开后呈90°相邻摆放时，AB与CB的夹角为90°，此时AB⊥CB，故①可能出现；
2. 当选择合适的剪开方式，将两个面展开到同一平面且AB、CB方向一致无交点时，AB与CB互相平行，故②可能出现；
3. 当两个面展开后刚好在同一平面，且AB和CB的夹角为180°时，二者在同一条直线上，故③可能出现。
综上，①②③都可能出现。
【答案】
①②③
【知识点】
正方体展开与折叠；直线的位置关系；空间想象能力
【点评】
本题考查正方体展开图相关知识，解题时不能被固定的展开形式限制，需要结合多种展开情况分析线段的位置关系，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
【分析】
解题时首先要结合消费券的使用规则确定标价的大致范围，再根据B券的使用门槛（满90元可用）分两种情况讨论：①商品标价大于等于60元且小于90元，此时只有小敏的A券可以使用，小聪无法使用B券；②商品标价大于等于90元，此时两人的消费券都可以使用。分别针对两种情况列出一元一次方程，求解后验证解是否符合对应情况的取值范围即可得到答案。
【解析】
设所购商品的标价是$ x $元，由两人共付款150元可知，商品标价必然大于60元（若标价小于60元，两人均无法用券，总付款为$ 2x=150 $，解得$ x=75 $，与标价小于60元矛盾），分两种情况讨论：
① 当$ 60 ≤ x ＜ 90 $时，仅小敏可使用A券，小聪无法使用B券，根据总付款列方程：
$ (x-20) + x = 150 $
解得：$ x=85 $，符合$ 60 ≤ x ＜90 $的取值范围。
② 当$ x ≥ 90 $时，两人均可使用对应消费券，根据总付款列方程：
$ (x-20) + (x-30) =150 $
解得：$ x=100 $，符合$ x ≥90 $的取值范围。
综上，所购商品的标价为85元或100元。
【答案】
85或100
【知识点】
一元一次方程应用，分段计费问题，分类讨论思想
【点评】
本题结合日常消费场景命题，解题的核心是根据消费券的使用规则合理划分讨论区间，列方程求解后要注意验证结果是否符合对应区间的取值要求，避免出现漏解或者解不符合题意的问题。
【难度系数】
0.7
【分析】
这是数轴动点结合规律探究的题型，解题思路如下：①先明确跳动规律：奇数次向右跳、偶数次向左跳，第n次跳动的距离为2n个单位；②通过计算前几次跳动后对应点表示的数，分别归纳出偶数次、奇数次跳动后对应数的通用表达式；③“到原点距离为23”说明对应数的绝对值为23，即对应数为23或-23，分别代入两种表达式求解n，验证结果符合对应奇偶设定即可。
【解析】
解：根据题意先计算前几次跳动后对应点表示的数：
第1次跳动后：$-5+2=-3$
第2次跳动后：$-5+2-4=-7$
第3次跳动后：$-5+2-4+6=-1$
第4次跳动后：$-5+2-4+6-8=-9$
……
观察归纳规律：
当n为偶数时，设$n=2m$（m为正整数），第2m次跳动后对应的数为$-5-2m$；
当n为奇数时，设$n=2m-1$（m为正整数），第$(2m-1)$次跳动后对应的数为$-5+2m$。
因为到原点距离为23，所以对应点表示的数为23或-23：
1. 若对应数为-23，代入偶数次表达式：$-5-2m=-23$，解得$m=9$，则$n=2×9=18$，符合偶数次设定；
2. 若对应数为23，代入奇数次表达式：$-5+2m=23$，解得$m=14$，则$n=2×14-1=27$，符合奇数次设定。
综上，n的值为18或27。
【答案】
18或27
【知识点】
数轴的应用，规律探究，绝对值的意义
【点评】
本题重点考察分类讨论思想和归纳总结能力，解题关键是准确区分奇偶次跳动的位置规律，同时注意“到原点距离为23”包含正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
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