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【分析】
解题时首先要明确：图形绕中心旋转180°属于中心对称变换，变换后得到的图形与原图形相比，所有元素的位置上下、左右均相反，也可以理解为将原图倒过来看得到的图形就是旋转后的图形。我们可以分别定位原图中各个阴影部分的位置，判断它们旋转后的位置后和选项比对即可得到答案。
【解析】
根据旋转180°的性质：旋转后的图形与原图形关于旋转中心O对称，各部分位置与原图上下颠倒、左右颠倒。
1. 原图形左上角的阴影圆，旋转180°后会移动到右下角的小正方形中，四个选项均满足该特征；
2. 原图形右上角小正方形内的阴影三角形位于该小正方形的右下角，旋转180°后对应到左下角小正方形的左上角位置；
3. 原图形左下角小正方形内的阴影三角形位于该小正方形的左下角，旋转180°后对应到右上角小正方形的右上角位置。
对比四个选项，只有选项C的阴影三角形位置完全符合上述特征。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质，中心对称的特征
【点评】
本题是图形旋转的基础题，解题时也可直接将原图倒过来观察，和哪个选项一致即为正确答案，方法直观易操作。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先观察月历的数字规律：竖列上相邻的两个数，下方数比上方数大7。我们可以设竖列三个相邻数的中间数为x，分别表示出另外两个数，求出三个数的和的表达式，再结合数的取值范围（1~31）判断选项是否符合，不符合的即为答案。
【解析】
设竖列上三个相邻数的中间数为$ x $，根据月历竖列数字规律，上方的数为$ x-7 $，下方的数为$ x+7 $。
三个数的和为：
$\begin{aligned}(x-7)+x+(x+7)&=3x\end{aligned}$
由此可知三个数的和一定是3的倍数，同时需满足数的取值要求：
$\begin{cases}x-7≥1 \\x+7≤31\end{cases}$
解得$ 8≤ x≤24 $，因此三个数的和$ 3x $的范围是$ 24≤ 3x≤72 $。
对各选项逐一判断：
A. $ 27÷3=9 $，9在8~24范围内，符合要求；
B. $ 51÷3=17 $，17在8~24范围内，符合要求；
C. $ 65÷3 $不是整数，65不是3的倍数，不符合要求；
D. $ 72÷3=24 $，24在8~24范围内，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
月历数字规律；代数式化简；3的倍数特征
【点评】
本题结合生活中的月历场景考查数字规律的应用，解题核心是抓住竖列相邻数差为7的特点，通过设未知数简化和的表达式，再结合取值范围快速判断，是规律类问题的基础题型。
【难度系数】
0.8
【分析】
要准确数出正方形的个数，需按照分类计数的思路，避免重复或遗漏。我们先数边和行列方向平行的正放正方形，再数边不与行列平行的斜放正方形，最后将两类数量相加即可。
【解析】
我们将9个钉子按行（从上到下为第1~3行）、列（从左到右为第1~3列）标记，分类计数：
1. 正放正方形（边与行列平行）：
① 边长为相邻两点距离的小正方形：横向有2组、纵向有2组，共$2×2=4$个；
② 边长为2倍相邻点距离的大正方形：由第1、3行和第1、3列的四个顶点组成，共1个；
正放正方形合计$4+1=5$个。
2. 斜放正方形：
由第1行第2列、第2行第1列、第3行第2列、第2行第3列四个顶点可组成1个斜向的正方形。
总正方形个数为$5+1=6$个。
【答案】
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【知识点】
分类计数法，正方形的判定
【点评】
本题重点考查有序计数的能力，解题时要按照一定顺序分类统计，避免漏数斜放的正方形，也不要出现重复计数的情况。
【难度系数】
0.6
【分析】
我们可以先回顾分割成8个小正方体的思路：正方体有长、宽、高3个互相垂直的方向，分割成8个小正方体时，8=2³，即每个方向要分成2块，每个方向切1刀，总共1×3=3刀。要分割成27个小正方体，首先要明确27是3的三次方，说明每个方向都要分成3块，再根据“切的刀数=分的块数-1”算出每个方向需要的刀数，最后乘3就是总刀数。
【解析】
正方体有长、宽、高3个互相垂直的方向，分割小正方体时，每个方向上的块数满足：块数=切的刀数+1。
要得到27个小正方体，因为27=3×3×3，说明长、宽、高每个方向都要分成3块。
每个方向需要切的刀数为：3-1=2（刀）
三个方向总共需要切的刀数为：2×3=6（刀）
【答案】
6
【知识点】
正方体的分割、空间想象、乘方的应用
【点评】
这道题解题的核心是抓住正方体三维结构的特点，不要仅从平面角度思考，结合分割后总块数是每个方向块数的乘积这一规律，就能快速理清思路算出结果，平时可以多通过实物观察提升空间想象能力。
【难度系数】
0.7
【分析】
解题时我们可以从正方形的基本分割方法入手思考：
1. 要得到4个正方形：属于最基础的分割方式，利用对边中点连线即可实现；
2. 要得到9个正方形：通过三等分正方形的边，作对应平行线即可得到9个全等的小正方形；
3. 要得到7个正方形：可以在4个正方形的基础上调整，每把1个正方形分成4个更小的正方形，总数量会净增3（去掉1个、新增4个），4+3=7，刚好满足要求；
4. 要得到8个正方形：可以先切出1个较大的正方形，再将剩余部分分割为小正方形凑够总数量即可，分割方式不唯一。
【解析】
1. 分割为4个正方形：连接大正方形两组对边的中点，两条相交的线段将大正方形分成4个完全相同的小正方形；
2. 分割为9个正方形：将大正方形的每条边平均分成3份，过各等分点作对应邻边的平行线，横竖各2条平行线相交后，得到9个完全相同的小正方形；
3. 分割为7个正方形：先按上述方法得到4个小正方形，任选其中1个小正方形，再次连接它的两组对边中点，将其分成4个更小的正方形，此时总正方形个数为$4-1+4=7$个；
4. 分割为8个正方形：将大正方形的边长平均分成4份，在大正方形的任意一个角落画出1个边长为3份的正方形，剩余部分恰好可以分割为7个边长为1份的小正方形，总个数为$1+7=8$个。
（注：7个、8个正方形的分割方式不唯一，只要分割出的正方形数量符合要求即可）
【答案】
如图所示(第二行两个图答案不唯一)
【知识点】
正方形的性质；图形的分割；几何作图
【点评】
本题是几何操作类题型，需要结合正方形的特征展开灵活思考，解题时可从基础分割方法出发，通过二次分割、调整大小的方式得到要求的数量，部分分割方法不唯一，能有效锻炼空间想象能力和动手实践能力。
【难度系数】
0.6
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