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$∠ 2$和$∠ 4$
$∠ AOC$
$∠ 2 + ∠ BOE = 180°$
$∠ 2$与$∠ BOE$
$129°41'$
$44°34'$
解：​$(1)$​因为​$∠α$​和​$∠β$​互为余角，
所以​$∠α+∠β=90°$​。
又因为∠α是∠β的两倍，即​$∠α=2∠β$​。
将​$∠α=2∠β$​代入​$∠α+∠β=90°$​，得​$2∠β+∠β=90°$​，
​$3∠β=90°$​，
​$∠β=30°$​。
所以​$∠α=2×30°=60°$​。
​$(2)$​因为​$∠α$​和​$∠β$​互为补角，
所以​$∠α+∠β=180°$​，即​$∠α=180°-∠β$​。
又因为​$∠β$​的一半比​$∠α$​小​$30°$​，
所以​$∠α - \frac {1}{2}∠β=30°$​。
将​$∠α=180°-∠β$​代入​$∠α - \frac {1}{2}∠β=30°$​，得​$180°-∠β - \frac {1}{2}∠β=30°$​，
​$180° - \frac {3}{2}∠β=30°$​，
​$- \frac {3}{2}∠β=30° - 180°$​，
​$- \frac {3}{2}∠β=-150°$​，
​$∠β=100°$​。
解：
(1) 因为$∠ AOC$和$∠ BOD$都是直角，
所以$∠ AOC = ∠ BOD = 90°，$
已知$∠ DOC = 20°，$
则$∠ AOD = ∠ AOC - ∠ DOC = 90° - 20° = 70°，$
所以$∠ AOB = ∠ AOD + ∠ BOD = 70° + 90° = 160°。$
(2) 图中相等的角为：$∠ AOC = ∠ BOD，$$∠ AOD = ∠ BOC。$
如果$∠ DOC ≠ 20°，$它们仍然相等。
理由：由$∠ AOC$和$∠ BOD$都是直角，可得$∠ AOC=∠ BOD$恒成立；
又因为$∠ AOD = 90° - ∠ DOC，$$∠ BOC = 90° - ∠ DOC，$
所以$∠ AOD = ∠ BOC，$该等量关系与$∠ DOC$的具体度数无关，因此即使$∠ DOC ≠ 20°，$两组角仍然相等。
解：​$(1)$​设​$∠BOD=x$​，则​$∠BOC=2x$​，
∵​$∠BOC$​与​$∠BOD$​互为余角，
∴​$∠BOC+∠BOD=90°$​，即​$2x+x=90°$​，
解得​$x=30°$​，
∴​$∠BOC=2x=60°.$​
​$(2)$​由图可知，​$∠AOB$​是平角，
∴​$∠AOB=180°$​，
∵​$∠BOC=60°$​，​$∠BOD=30°$​，
∴​$∠COE+90°=3∠COE$​
∴​$∠COE=45°$​
解：​$(1)$​因为​$∠BOC$​与​$∠BOD$​互为余角，
所以​$∠BOC+∠BOD=90°$​。
设​$∠BOD=x$​，则​$∠BOC=2x$​，可得​$2x+x=90°$​，
解得​$x=30°$​，
所以​$∠BOC=2×30°=60°$​。
​$(2)$​因为​$∠AOC$​与​$∠BOC$​互为补角，​$∠BOC=60°$​，
所以​$∠AOC=180°-60°=120°$​。
由​$(1)$​知​$∠BOD=30°$​，
所以​$∠COD=∠BOC+∠BOD=60°+30°=90°$​。
情况一：​$OE$​在​$∠COD$​内部
设​$∠COE=y$​，则​$∠DOE=3y$​，
因为​$∠COD=90°$​，
所以​$y+3y=90°$​，解得​$y=22.5°$​。
​$∠BOE=∠BOC-∠COE=60°-22.5°=37.5°$​。
情况二：​$OE$​在​$∠AOC$​内部
设​$∠COE=z$​，则​$∠DOE=3z$​，
因为​$∠COD=90°$​，
所以​$∠DOE-∠COE=∠COD$​，
即​$3z-z=90°$​，解得​$z=45°$​。
​$∠BOE=∠BOC+∠COE=60°+45°=105°$​。
综上，​$∠BOE$​的度数为​$37.5°$​或​$105°$​。
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