解：
（2）由题意得，运动t秒后，$CP = at = t\ \mathrm{cm}，$$BD = bt = 3t\ \mathrm{cm}，$
则$AC = AP - CP = AP - t，$$PD = BP - BD = BP - 3t，$
已知$PD=3AC，$代入得：
$BP - 3t = 3(AP - t)，$
化简得$BP = 3AP。$
又$AB = AP + BP = 24\ \mathrm{cm}，$即$AP + 3AP = 24，$
解得$AP = 6\ \mathrm{cm}。$
（3）分两种情况讨论：
① 当点$Q$在线段$AB$上时：
由$AQ - BQ = PQ，$且$AQ = AP + PQ，$代入得$AP = BQ，$
由$BP=3AP，$得$AB = AP + BP = 4AP，$即$AP=\dfrac{1}{4}AB，$
此时$PQ = AB - AP - BQ = AB - 2AP = \dfrac{1}{2}AB，$故$\dfrac{PQ}{AB}=\dfrac{1}{2}；$
② 当点$Q$在$AB$的延长线上时：
$AQ - BQ = AB，$结合$AQ - BQ = PQ，$得$PQ=AB，$故$\dfrac{PQ}{AB}=1。$
综上，$\dfrac{PQ}{AB}$的值为$\dfrac{1}{2}$或$1。$
（4）$\dfrac{MN}{AB}$的值不发生变化，推导如下：
运动5s后，$CP=1×5=5\ \mathrm{cm}，$$BD=3×5=15\ \mathrm{cm}，$
由$BP=3AP，$$AB=AP+BP=4AP，$此时$CD = CP + PD = 5 + (BP - 15) = 3AP - 10，$
结合$AB=2CD，$得$4AP = 2(3AP - 10)，$解得$AP=10\ \mathrm{cm}，$$AB=40\ \mathrm{cm}。$
设点$C$停止运动后，点$D$继续运动的时间为$t'\ \mathrm{s}，$
则此时$PD = BP - (15 + 3t') = 30 - 15 - 3t' = 15 - 3t'，$
$CD = CP + PD = 5 + 15 - 3t' = 20 - 3t'，$
因为$M$是$CD$中点，$N$是$PD$中点，
所以$MD=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{20-3t'}{2}，$$ND=\dfrac{1}{2}PD=\dfrac{15-3t'}{2}，$
则$MN = MD - ND = \dfrac{(20-3t')-(15-3t')}{2}=\dfrac{5}{2}\ \mathrm{cm}，$
因此$\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{\dfrac{5}{2}}{40}=\dfrac{1}{16}，$为定值，不发生变化。
