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第35页

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$55°$

证明：​$(1)$​∵​$AB=AC，$​∴​$∠B=∠ACB$​
在​$∆ABE$​和​$∆ACF $​中
​$\begin {cases}{AB=AC}\\{∠B=∠ACF}\\{BE=CF}\end {cases}$​
∴​$∆ABE≌∆ACF(S AS)$​

 证明：连接AD，

 $\because D$是$BC$的中点，$AB=AC，$

 $\therefore AD$平分$∠ BAC。$

 $\because DE⊥ AB,DF⊥ AC，$

 $\therefore DE=DF$

​$(1) $​解：∵​$ ∠ADE=160°，$​∴​$ ∠BDE=20°.$​
∵​$ DE⊥BC，$​​$EF⊥AC$​
∴​$ ∠DEB=∠AFE=90°，$​∴​$ ∠B=70°$​
∵​$ AC=BC，$​∴​$ ∠A=∠B=70°$​
∴​$ ∠DEF=360°-70°-160°-90°=40°$​
​$(2) $​证明：连接​$ CD$​
∵​$ AC=BC，$​​$D $​是​$ AB $​的中点
∴​$ CD⊥AB，$​​$∠ACD=∠BCD=\frac 12∠ACB$​
∴​$ ∠BCD+∠B=90°$​
∵​$ ∠B+∠BDE=90°$​
∴​$ ∠BCD=∠BDE，$​∴​$ ∠BDE=\frac 12∠ACB$​