13. [2025 河北衡水桃城期中,★☆]若实数 $ a $,$ b $ 分别满足 $ a^2 - 4a + 1 = 0 $,$ b^2 - 4b + 1 = 0 $,且 $ a \neq b $,则 $ 2a^2 - 5a + 3b + ab $ 的值为(
A. 3
B. -13
C. -5
D. 11
D
)A. 3
B. -13
C. -5
D. 11
答案：D $\because$实数$a,b$分别满足$a^{2}-4a+1=0,b^{2}-4b+1=0$，且$a\neq b$，$\therefore a,b$可看作是方程$x^{2}-4x+1=0$的两个根，
$\therefore a+b=4,ab=1$，又$\because a^{2}-4a+1=0$，$\therefore a^{2}=4a-1$，
$\therefore 2a^{2}-5a+3b+ab=2(4a-1)-5a+3b+ab=3(a+b)+ab-2=3×4+1-2=11$。
方法解读 (1)本题通过观察两个等式的关系，构造一元二次方程，应用一元二次方程根与系数的关系简化了运算。
(2)对于复杂的二次(或高次)代数式的化简求值，除构造整体代入外还可以直接降次代入，如已知$a^{2}-4a+1=0$，则有$a^{2}=4a-1$，等号左边的二次式可降为右边的一次式，从而实现降次。
$\therefore a+b=4,ab=1$，又$\because a^{2}-4a+1=0$，$\therefore a^{2}=4a-1$，
$\therefore 2a^{2}-5a+3b+ab=2(4a-1)-5a+3b+ab=3(a+b)+ab-2=3×4+1-2=11$。
方法解读 (1)本题通过观察两个等式的关系，构造一元二次方程，应用一元二次方程根与系数的关系简化了运算。
(2)对于复杂的二次(或高次)代数式的化简求值，除构造整体代入外还可以直接降次代入，如已知$a^{2}-4a+1=0$，则有$a^{2}=4a-1$，等号左边的二次式可降为右边的一次式，从而实现降次。
14. [2023 四川南充中考,★☆]已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2m - 1)x - 3m^2 + m = 0 $。
(1)求证：无论 $ m $ 为何值,方程总有实数根。
证明：$\because \Delta =[-(2m-1)]^{2}-4×1×(-3m^{2}+m)=4m^{2}-4m+1+12m^{2}-4m=16m^{2}-8m+1=(4m-1)^{2}\geqslant0$，$\therefore$方程总有实数根。
(2)若 $ x_1 $,$ x_2 $ 是方程的两个实数根,且 $ \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = -\frac{5}{2} $,求 $ m $ 的值。
解：由题意知$x_{1}+x_{2}=2m-1,x_{1}x_{2}=-3m^{2}+m$，
$\because \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}}{x_{1}x_{2}}-2=-\frac{5}{2}$，
$\therefore \frac{(2m-1)^{2}}{-3m^{2}+m}-2=-\frac{5}{2}$，整理得$5m^{2}-7m+2=0$，
解得$m=$
(1)求证：无论 $ m $ 为何值,方程总有实数根。
证明：$\because \Delta =[-(2m-1)]^{2}-4×1×(-3m^{2}+m)=4m^{2}-4m+1+12m^{2}-4m=16m^{2}-8m+1=(4m-1)^{2}\geqslant0$，$\therefore$方程总有实数根。
(2)若 $ x_1 $,$ x_2 $ 是方程的两个实数根,且 $ \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = -\frac{5}{2} $,求 $ m $ 的值。
解：由题意知$x_{1}+x_{2}=2m-1,x_{1}x_{2}=-3m^{2}+m$，
$\because \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}}{x_{1}x_{2}}-2=-\frac{5}{2}$，
$\therefore \frac{(2m-1)^{2}}{-3m^{2}+m}-2=-\frac{5}{2}$，整理得$5m^{2}-7m+2=0$，
解得$m=$
1
或$m=$$\frac{2}{5}$
。答案：解析 (1)证明：$\because \Delta =[-(2m-1)]^{2}-4×1×(-3m^{2}+m)=4m^{2}-4m+1+12m^{2}-4m=16m^{2}-8m+1=(4m-1)^{2}\geqslant0$，$\therefore$方程总有实数根。
(2)由题意知$x_{1}+x_{2}=2m-1,x_{1}x_{2}=-3m^{2}+m$，
$\because \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}}{x_{1}x_{2}}-2=-\frac{5}{2}$，
$\therefore \frac{(2m-1)^{2}}{-3m^{2}+m}-2=-\frac{5}{2}$，整理得$5m^{2}-7m+2=0$，
解得$m=1$或$m=\frac{2}{5}$。
(2)由题意知$x_{1}+x_{2}=2m-1,x_{1}x_{2}=-3m^{2}+m$，
$\because \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}}{x_{1}x_{2}}-2=-\frac{5}{2}$，
$\therefore \frac{(2m-1)^{2}}{-3m^{2}+m}-2=-\frac{5}{2}$，整理得$5m^{2}-7m+2=0$，
解得$m=1$或$m=\frac{2}{5}$。
15. [2025 安徽淮南龙湖中学月考改编,★☆]已知 $ x_1 $,$ x_2 $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 2x + k - 1 = 0 $ 的两实数根,且 $ \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = x_1^2 + 2x_2 - 1 $,求 $ k $ 的值。
2
答案：解析 $\because x_{1},x_{2}$是关于$x$的方程$x^{2}-2x+k-1=0$的两实数根，
$\therefore x_{1}+x_{2}=2,x_{1}x_{2}=k-1,x_{1}^{2}=2x_{1}-k+1$，
$\because \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=x_{1}^{2}+2x_{2}-1$，$\therefore \frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}=2(x_{1}+x_{2})-k$，$\therefore \frac{2^{2}-2(k-1)}{k-1}=4-k$，解得$k=2$或$k=5$，
当$k=2$时，关于$x$的方程为$x^{2}-2x+1=0,\Delta =0$，符合题意；当$k=5$时，关于$x$的方程为$x^{2}-2x+4=0,\Delta ＜0$，不符合题意。$\therefore k=2$。
$\therefore x_{1}+x_{2}=2,x_{1}x_{2}=k-1,x_{1}^{2}=2x_{1}-k+1$，
$\because \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=x_{1}^{2}+2x_{2}-1$，$\therefore \frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}=2(x_{1}+x_{2})-k$，$\therefore \frac{2^{2}-2(k-1)}{k-1}=4-k$，解得$k=2$或$k=5$，
当$k=2$时，关于$x$的方程为$x^{2}-2x+1=0,\Delta =0$，符合题意；当$k=5$时，关于$x$的方程为$x^{2}-2x+4=0,\Delta ＜0$，不符合题意。$\therefore k=2$。
16. 新课标 创新意识 若 $ \alpha $,$ \beta $ 是一元二次方程 $ x^2 + mx + n = 0 $ 的两个实数根,小明看错了一次项系数 $ m $,得到 $ \alpha = 2 $,$ \beta = -3 $；小亮看错了常数项 $ n $,得到 $ \alpha = -2 $,$ \beta = 4 $,则代数式 $ \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} $ 的值为(
A. $ \frac{1}{3} $
B. $ -\frac{1}{3} $
C. 3
D. -3
B
)A. $ \frac{1}{3} $
B. $ -\frac{1}{3} $
C. 3
D. -3
答案：B 由题意，得$n=2×(-3),-m=-2+4$，$\therefore m=-2,n=-6$，$\therefore$原方程为$x^{2}-2x-6=0$。$\therefore \alpha+\beta=2,\alpha\beta=-6$，
$\therefore \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{2}{-6}=-\frac{1}{3}$。故选 B。
$\therefore \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{2}{-6}=-\frac{1}{3}$。故选 B。
17. 新课标 创新意识 [2025 江西吉安十校联盟期中]定义：我们把关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 与 $ cx^2 + bx + a = 0 $($ ac \neq 0 $,$ a \neq c $)称为一对“友好方程”。如 $ 2x^2 - 7x + 3 = 0 $ 的“友好方程”是 $ 3x^2 - 7x + 2 = 0 $。
(1)写出一元二次方程 $ x^2 + 3x - 10 = 0 $ 的“友好方程”：
(2)已知一元二次方程 $ x^2 + 3x - 10 = 0 $ 的两根为 $ x_1 = 2 $,$ x_2 = -5 $,它的“友好方程”的两根为 $ x_3 = $
(3)已知关于 $ x $ 的方程 $ 2024x^2 + bx + c = 0 $ 的两根是 $ x_1 = -1 $,$ x_2 = \frac{1}{2024} $,请利用(2)中的结论,求出关于 $ x $ 的方程 $ c(x - 1)^2 + bx - b = -2024 $ 的两根。
(1)写出一元二次方程 $ x^2 + 3x - 10 = 0 $ 的“友好方程”：
$-10x^{2}+3x+1=0$
。(2)已知一元二次方程 $ x^2 + 3x - 10 = 0 $ 的两根为 $ x_1 = 2 $,$ x_2 = -5 $,它的“友好方程”的两根为 $ x_3 = $
$\frac{1}{2}$
,$ x_4 = $$-\frac{1}{5}$
。根据以上结论,猜想 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的两根 $ x_1 $,$ x_2 $ 与其“友好方程” $ cx^2 + bx + a = 0 $ 的两根 $ x_3 $,$ x_4 $ 之间存在的一种特殊关系为互为倒数
。(3)已知关于 $ x $ 的方程 $ 2024x^2 + bx + c = 0 $ 的两根是 $ x_1 = -1 $,$ x_2 = \frac{1}{2024} $,请利用(2)中的结论,求出关于 $ x $ 的方程 $ c(x - 1)^2 + bx - b = -2024 $ 的两根。
0 和 2025
答案：解析 (1)$-10x^{2}+3x+1=0$。
(2)$\frac{1}{2}$；$-\frac{1}{5}$；互为倒数。
提示：由(1)可知，一元二次方程$x^{2}+3x-10=0$的“友好方程”为$-10x^{2}+3x+1=0$，解得$x_{3}=\frac{1}{2},x_{4}=-\frac{1}{5}$，
观察可知$x_{1}x_{3}=2×\frac{1}{2}=1,x_{2}x_{4}=-5×(-\frac{1}{5})=1$。
$\therefore$猜想$ax^{2}+bx+c=0$的两根$x_{1},x_{2}$与其“友好方程”$cx^{2}+bx+a=0$的两根$x_{3},x_{4}$之间存在的一种特殊关系是互为倒数。
(3)已知关于$x$的方程$2024x^{2}+bx+c=0$的两根是$x_{1}=-1,x_{2}=\frac{1}{2024}$，
由(2)可知$cx^{2}+bx+2024=0$的两根是$x_{3}=-1,x_{4}=2024$，
将$c(x-1)^{2}+bx-b=-2024$整理为$c(x-1)^{2}+b(x-1)+2024=0$，
那么有$x-1=-1$或$x-1=2024$，
即$x_{5}=0,x_{6}=2025$。
$\therefore$关于$x$的方程$c(x-1)^{2}+bx-b=-2024$的两根为 0 和 2025。
(2)$\frac{1}{2}$；$-\frac{1}{5}$；互为倒数。
提示：由(1)可知，一元二次方程$x^{2}+3x-10=0$的“友好方程”为$-10x^{2}+3x+1=0$，解得$x_{3}=\frac{1}{2},x_{4}=-\frac{1}{5}$，
观察可知$x_{1}x_{3}=2×\frac{1}{2}=1,x_{2}x_{4}=-5×(-\frac{1}{5})=1$。
$\therefore$猜想$ax^{2}+bx+c=0$的两根$x_{1},x_{2}$与其“友好方程”$cx^{2}+bx+a=0$的两根$x_{3},x_{4}$之间存在的一种特殊关系是互为倒数。
(3)已知关于$x$的方程$2024x^{2}+bx+c=0$的两根是$x_{1}=-1,x_{2}=\frac{1}{2024}$，
由(2)可知$cx^{2}+bx+2024=0$的两根是$x_{3}=-1,x_{4}=2024$，
将$c(x-1)^{2}+bx-b=-2024$整理为$c(x-1)^{2}+b(x-1)+2024=0$，
那么有$x-1=-1$或$x-1=2024$，
即$x_{5}=0,x_{6}=2025$。
$\therefore$关于$x$的方程$c(x-1)^{2}+bx-b=-2024$的两根为 0 和 2025。