1.「2025山东滨州博兴期中」要使方程$x^{2}-\frac {1}{3}x= \frac {2}{3}$的左边能凑成完全平方式,应该在方程的两边都加上(
A.$(-\frac {1}{3})^{2}$
B.$(-\frac {1}{6})^{2}$
C.$(\frac {2}{3})^{2}$
D.$(\frac {1}{4})^{2}$
B
)A.$(-\frac {1}{3})^{2}$
B.$(-\frac {1}{6})^{2}$
C.$(\frac {2}{3})^{2}$
D.$(\frac {1}{4})^{2}$
答案：B 将 $ x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } x = \frac { 2 } { 3 } $ 配方得 $ x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } x + \left( - \frac { 1 } { 6 } \right) ^ { 2 } = \frac { 2 } { 3 } + \left( - \frac { 1 } { 6 } \right) ^ { 2 } $。故选 B。
2.「2023内蒙古赤峰中考」用配方法解方程$x^{2}-4x-1= 0$时,配方后正确的是(
A.$(x+2)^{2}= 3$
B.$(x+2)^{2}= 17$
C.$(x-2)^{2}= 5$
D.$(x-2)^{2}= 17$
C
)A.$(x+2)^{2}= 3$
B.$(x+2)^{2}= 17$
C.$(x-2)^{2}= 5$
D.$(x-2)^{2}= 17$
答案：C $ \because x ^ { 2 } - 4 x - 1 = 0 $，$ \therefore x ^ { 2 } - 4 x = 1 $，$ \therefore x ^ { 2 } - 4 x + 4 = 1 + 4 $，$ \therefore ( x - 2 ) ^ { 2 } = 5 $。故选 C。
3.「2025河南平顶山期中」用配方法解方程$x^{2}-4x-3= 0$,配方得$(x+m)^{2}= 7$,则m的值是____
-2
.答案：答案 -2
解析 方程 $ x ^ { 2 } - 4 x - 3 = 0 $，移项，得 $ x ^ { 2 } - 4 x = 3 $，配方，得 $ x ^ { 2 } - 4 x + 4 = 3 + 4 $，$ \therefore ( x - 2 ) ^ { 2 } = 7 $，$ \therefore m = - 2 $。
解析 方程 $ x ^ { 2 } - 4 x - 3 = 0 $，移项，得 $ x ^ { 2 } - 4 x = 3 $，配方，得 $ x ^ { 2 } - 4 x + 4 = 3 + 4 $，$ \therefore ( x - 2 ) ^ { 2 } = 7 $，$ \therefore m = - 2 $。
4.用配方法解方程:
(1)$x^{2}+2\sqrt {5}x= 4$.
解：配方得$x^{2}+2\sqrt {5}x+5=4+5$，即$(x+\sqrt {5})^{2}=9$，$\therefore x+\sqrt {5}=\pm 3$，$\therefore x_{1}=$
(2)$x^{2}-x-\frac {1}{4}= 0$.
解：移项得$x^{2}-x=\frac {1}{4}$，配方得$x^{2}-x+\frac {1}{4}=\frac {1}{4}+\frac {1}{4}$，即$(x-\frac {1}{2})^{2}=\frac {1}{2}$，$\therefore x-\frac {1}{2}=\pm \frac {\sqrt {2}}{2}$，$\therefore x_{1}=$
(1)$x^{2}+2\sqrt {5}x= 4$.
解：配方得$x^{2}+2\sqrt {5}x+5=4+5$，即$(x+\sqrt {5})^{2}=9$，$\therefore x+\sqrt {5}=\pm 3$，$\therefore x_{1}=$
$-\sqrt {5}+3$
，$x_{2}=$$-\sqrt {5}-3$
.(2)$x^{2}-x-\frac {1}{4}= 0$.
解：移项得$x^{2}-x=\frac {1}{4}$，配方得$x^{2}-x+\frac {1}{4}=\frac {1}{4}+\frac {1}{4}$，即$(x-\frac {1}{2})^{2}=\frac {1}{2}$，$\therefore x-\frac {1}{2}=\pm \frac {\sqrt {2}}{2}$，$\therefore x_{1}=$
$\frac {1+\sqrt {2}}{2}$
，$x_{2}=$$\frac {1-\sqrt {2}}{2}$
.答案：解析 (1) $ x ^ { 2 } + 2 \sqrt { 5 } x = 4 $，配方得 $ x ^ { 2 } + 2 \sqrt { 5 } x + 5 = 4 + 5 $，即 $ ( x + \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } = 9 $，$ \therefore x + \sqrt { 5 } = \pm 3 $，$ \therefore x _ { 1 } = - \sqrt { 5 } + 3 $，$ x _ { 2 } = - \sqrt { 5 } - 3 $。
(2) $ x ^ { 2 } - x - \frac { 1 } { 4 } = 0 $，移项得 $ x ^ { 2 } - x = \frac { 1 } { 4 } $，配方得 $ x ^ { 2 } - x + \frac { 1 } { 4 } = \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 4 } $，即 $ \left( x - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } $，$ \therefore x - \frac { 1 } { 2 } = \pm \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $，$ \therefore x _ { 1 } = \frac { 1 + \sqrt { 2 } } { 2 } $，$ x _ { 2 } = \frac { 1 - \sqrt { 2 } } { 2 } $。
(2) $ x ^ { 2 } - x - \frac { 1 } { 4 } = 0 $，移项得 $ x ^ { 2 } - x = \frac { 1 } { 4 } $，配方得 $ x ^ { 2 } - x + \frac { 1 } { 4 } = \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 4 } $，即 $ \left( x - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } $，$ \therefore x - \frac { 1 } { 2 } = \pm \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $，$ \therefore x _ { 1 } = \frac { 1 + \sqrt { 2 } } { 2 } $，$ x _ { 2 } = \frac { 1 - \sqrt { 2 } } { 2 } $。
5.「2025广西贵港覃塘期中」一元二次方程$2x^{2}+3x+1= 0$用配方法解方程,配方结果是(
A.$(x+\frac {3}{4})^{2}= \frac {1}{16}$
B.$2(x-\frac {3}{4})^{2}= \frac {1}{8}$
C.$(x+\frac {3}{4})^{2}= -\frac {1}{8}$
D.$(x+\frac {3}{4})^{2}-\frac {1}{16}= -1$
A
)A.$(x+\frac {3}{4})^{2}= \frac {1}{16}$
B.$2(x-\frac {3}{4})^{2}= \frac {1}{8}$
C.$(x+\frac {3}{4})^{2}= -\frac {1}{8}$
D.$(x+\frac {3}{4})^{2}-\frac {1}{16}= -1$
答案：A $ 2 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0 $，移项得 $ 2 x ^ { 2 } + 3 x = - 1 $，系数化为 1 得 $ x ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } x = - \frac { 1 } { 2 } $，配方得 $ x ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } x + \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { 2 } = - \frac { 1 } { 2 } + \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { 2 } $，即 $ \left( x + \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 16 } $。故选 A。
6.「2025河南周口西华月考」将一元二次方程$2x^{2}+12x= 5$配方后得到$2(x+c)^{2}= b$,则$b+c= $
26
.答案：答案 26
解析 $ 2 x ^ { 2 } + 12 x = 5 $，变形得 $ 2 ( x ^ { 2 } + 6 x ) = 5 $，配方得 $ 2 ( x ^ { 2 } + 6 x + 9 - 9 ) = 5 $，即 $ 2 ( x + 3 ) ^ { 2 } = 23 $，$ \because $ 方程 $ 2 x ^ { 2 } + 12 x = 5 $ 配方后得到 $ 2 ( x + c ) ^ { 2 } = b $，$ \therefore b = 23 $，$ c = 3 $，$ \therefore b + c = 23 + 3 = 26 $。
解析 $ 2 x ^ { 2 } + 12 x = 5 $，变形得 $ 2 ( x ^ { 2 } + 6 x ) = 5 $，配方得 $ 2 ( x ^ { 2 } + 6 x + 9 - 9 ) = 5 $，即 $ 2 ( x + 3 ) ^ { 2 } = 23 $，$ \because $ 方程 $ 2 x ^ { 2 } + 12 x = 5 $ 配方后得到 $ 2 ( x + c ) ^ { 2 } = b $，$ \therefore b = 23 $，$ c = 3 $，$ \therefore b + c = 23 + 3 = 26 $。
7.「学科特色 教材变式 P97T2」用配方法解下列方程.
(1)$\frac {1}{4}x^{2}-6x+3= 0$.
(2)$2x^{2}-1= 4x$.
(1)$\frac {1}{4}x^{2}-6x+3= 0$.
二次项系数化为 1，得 $ x ^ { 2 } - 24 x + 12 = 0 $。移项，得 $ x ^ { 2 } - 24 x = - 12 $。配方，得 $ x ^ { 2 } - 24 x + 144 = 132 $，即 $ ( x - 12 ) ^ { 2 } = 132 $，$ \therefore x - 12 = \pm 2 \sqrt { 33 } $，$ \therefore x _ { 1 } = 2 \sqrt { 33 } + 12 $，$ x _ { 2 } = - 2 \sqrt { 33 } + 12 $。
(2)$2x^{2}-1= 4x$.
二次项系数化为 1，得 $ x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } = 2 x $。移项，得 $ x ^ { 2 } - 2 x = \frac { 1 } { 2 } $。配方，得 $ x ^ { 2 } - 2 x + 1 = \frac { 1 } { 2 } + 1 $，即 $ ( x - 1 ) ^ { 2 } = \frac { 3 } { 2 } $。$ \therefore x - 1 = \pm \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } $。$ \therefore x _ { 1 } = \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } + 1 $，$ x _ { 2 } = - \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } + 1 $。
答案：解析 (1) 二次项系数化为 1，得 $ x ^ { 2 } - 24 x + 12 = 0 $。移项，得 $ x ^ { 2 } - 24 x = - 12 $。配方，得 $ x ^ { 2 } - 24 x + 144 = 132 $，即 $ ( x - 12 ) ^ { 2 } = 132 $，$ \therefore x - 12 = \pm 2 \sqrt { 33 } $，$ \therefore x _ { 1 } = 2 \sqrt { 33 } + 12 $，$ x _ { 2 } = - 2 \sqrt { 33 } + 12 $。
(2) 二次项系数化为 1，得 $ x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } = 2 x $。移项，得 $ x ^ { 2 } - 2 x = \frac { 1 } { 2 } $。配方，得 $ x ^ { 2 } - 2 x + 1 = \frac { 1 } { 2 } + 1 $，即 $ ( x - 1 ) ^ { 2 } = \frac { 3 } { 2 } $。
$ \therefore x - 1 = \pm \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } $。$ \therefore x _ { 1 } = \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } + 1 $，$ x _ { 2 } = - \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } + 1 $。
(2) 二次项系数化为 1，得 $ x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } = 2 x $。移项，得 $ x ^ { 2 } - 2 x = \frac { 1 } { 2 } $。配方，得 $ x ^ { 2 } - 2 x + 1 = \frac { 1 } { 2 } + 1 $，即 $ ( x - 1 ) ^ { 2 } = \frac { 3 } { 2 } $。
$ \therefore x - 1 = \pm \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } $。$ \therefore x _ { 1 } = \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } + 1 $，$ x _ { 2 } = - \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } + 1 $。
8.「2024山东东营中考,★☆」用配方法解一元二次方程$x^{2}-2x-2023= 0$,将它转化为$(x+a)^{2}= b$的形式,则$a^{b}$的值为(
A.-2024
B.2024
C.-1
D.1
D
)A.-2024
B.2024
C.-1
D.1
答案：D $ x ^ { 2 } - 2 x - 2023 = 0 $，$ x ^ { 2 } - 2 x = 2023 $，$ x ^ { 2 } - 2 x + 1 = 2023 + 1 $，$ ( x - 1 ) ^ { 2 } = 2024 $，所以 $ a = - 1 $，$ b = 2024 $，所以 $ a ^ { b } = ( - 1 ) ^ { 2024 } = 1 $。故选 D。
9.「2025福建福州连江期中,★☆」将一个关于x的一元二次方程配方为$(x-m)^{2}= n$,若$3\pm \sqrt {5}$是该方程的两个根,则n的值是(
A.-3
B.3
C.$\sqrt {5}$
D.5
5
)A.-3
B.3
C.$\sqrt {5}$
D.5
答案：D $ ( x - m ) ^ { 2 } = n $，$ x - m = \pm \sqrt { n } $，所以 $ x = m \pm \sqrt { n } $，即 $ m \pm \sqrt { n } = 3 \pm \sqrt { 5 } $，所以 $ n = 5 $。故选 D。
10.「2025云南玉溪红塔期中,★☆」若方程$x^{2}-6x-5= 0用配方法可配成(x+p)^{2}= q$的形式,则直线$y= px+q$不经过(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：C $ x ^ { 2 } - 6 x - 5 = 0 $，移项得 $ x ^ { 2 } - 6 x = 5 $，配方得 $ x ^ { 2 } - 6 x + 9 = 5 + 9 $，即 $ ( x - 3 ) ^ { 2 } = 14 $，$ \therefore p = - 3 ＜ 0 $，$ q = 14 ＞ 0 $，$ \therefore $ 直线 $ y = p x + q $ 经过第一、二、四象限，不经过第三象限。故选 C。
11.「★☆」在$\triangle ABC$中,内角$∠A,∠B,∠C$的对边分别为a,b,c.若$3b^{2}+c^{2}= 6b+4c-7且a^{2}= b^{2}+c^{2}-bc$,则$\triangle ABC$的面积为(
A.$\frac {\sqrt {2}}{2}$
B.$\frac {\sqrt {3}}{2}$
C.$\sqrt {2}$
D.$\sqrt {3}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
)A.$\frac {\sqrt {2}}{2}$
B.$\frac {\sqrt {3}}{2}$
C.$\sqrt {2}$
D.$\sqrt {3}$
答案：B $ 3 b ^ { 2 } + c ^ { 2 } = 6 b + 4 c - 7 $，整理得 $ ( 3 b ^ { 2 } - 6 b + 3 ) + ( c ^ { 2 } - 4 c + 4 ) = 0 $，$ \therefore 3 ( b - 1 ) ^ { 2 } + ( c - 2 ) ^ { 2 } = 0 $，$ \therefore b - 1 = 0 $，$ c - 2 = 0 $，$ \therefore b = 1 $，$ c = 2 $。又 $ \because a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - b c $，$ \therefore a ^ { 2 } = 1 + 4 - 2 = 3 $，$ \therefore a = \sqrt { 3 } $ 或 $ a = - \sqrt { 3 } $（舍去）。$ \because 1 ^ { 2 } + ( \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } = 4 = 2 ^ { 2 } $，$ \therefore \triangle A B C $ 是以 1 和 $ \sqrt { 3 } $ 为直角边长的直角三角形，$ \therefore \triangle A B C $ 的面积为 $ \frac { 1 } { 2 } \times 1 \times \sqrt { 3 } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $，故选 B。
12.「新考向 新定义题」「2024湖北随州广水期中,★☆」在实数范围内定义运算“☆”和“★”,其规则为$a☆b= a^{2}+b^{2},a★b= \frac {ab}{2}$,则方程$3☆x= x★12$的解为
$x_{1}=x_{2}=3$
.答案：答案 $ x _ { 1 } = x _ { 2 } = 3 $
解析 根据题中的新定义得 $ 3 ☆ x = 9 + x ^ { 2 } $，$ x ★ 12 = 6 x $，所求方程化为 $ 9 + x ^ { 2 } = 6 x $，即 $ ( x - 3 ) ^ { 2 } = 0 $，解得 $ x _ { 1 } = x _ { 2 } = 3 $。
解析 根据题中的新定义得 $ 3 ☆ x = 9 + x ^ { 2 } $，$ x ★ 12 = 6 x $，所求方程化为 $ 9 + x ^ { 2 } = 6 x $，即 $ ( x - 3 ) ^ { 2 } = 0 $，解得 $ x _ { 1 } = x _ { 2 } = 3 $。
13.「学科特色 整体思想」「2025江苏无锡期中,★☆」已知一元二次方程$x^{2}-4100625= 0的两根为x_{1}= 2025,x_{2}= -2025$,则方程$x^{2}-4x-4100621= 0$的两根为
$x_{1}=2027$，$x_{2}=-2023$
.答案：答案 $ x _ { 1 } = 2027 $，$ x _ { 2 } = - 2023 $
解析 $ x ^ { 2 } - 4 x - 4100621 = 0 $，移项得 $ x ^ { 2 } - 4 x = 4100621 $，配方得 $ x ^ { 2 } - 4 x + 4 = 4100625 $，$ \therefore ( x - 2 ) ^ { 2 } = 4100625 $，$ \therefore x - 2 = \pm 2025 $，$ \therefore x _ { 1 } = 2027 $，$ x _ { 2 } = - 2023 $。
解析 $ x ^ { 2 } - 4 x - 4100621 = 0 $，移项得 $ x ^ { 2 } - 4 x = 4100621 $，配方得 $ x ^ { 2 } - 4 x + 4 = 4100625 $，$ \therefore ( x - 2 ) ^ { 2 } = 4100625 $，$ \therefore x - 2 = \pm 2025 $，$ \therefore x _ { 1 } = 2027 $，$ x _ { 2 } = - 2023 $。