1.「2025浙江杭州萧山月考」如图,$△ABC$是等边三角形,$AB= 4$,$AD是边BC$上的高,点$E在边AD$上,连接$BE$,以$BE为边在其下方作等边△BEF$,连接$DF$、$CF$,则$DF$的最小值为____。
答案：
答案 1
解析 ∵△ABC和△BEF都是等边三角形，∴∠ABC=∠EBF=60°，AB=BC，BE=BF，∴∠ABE=∠CBF=60°−∠EBC，∴△ABE≌△CBF(SAS)，如图，取AB的中点M，连接EM，由△ABE≌△CBF易得DF=EM，∴当ME⊥AD时，ME有最小值，即DF有最小值。∵△ABC是等边三角形，AB =4，AD是边BC上的高，∴∠BAD=30°，AM=2，当ME⊥AD
时，在Rt△AME中，∠MAE=30°，∴ME=$\frac{1}{2}$AM=1。∴DF的最小值为1。
答案 1
解析 ∵△ABC和△BEF都是等边三角形，∴∠ABC=∠EBF=60°，AB=BC，BE=BF，∴∠ABE=∠CBF=60°−∠EBC，∴△ABE≌△CBF(SAS)，如图，取AB的中点M，连接EM，由△ABE≌△CBF易得DF=EM，∴当ME⊥AD时，ME有最小值，即DF有最小值。∵△ABC是等边三角形，AB =4，AD是边BC上的高，∴∠BAD=30°，AM=2，当ME⊥AD
时，在Rt△AME中，∠MAE=30°，∴ME=$\frac{1}{2}$AM=1。∴DF的最小值为1。
2.如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90°$,$AC= 4$,$BC= 3$,$AB= 5$,点$E是线段AB$上的动点,连接$CE$,并将线段$CE绕点C逆时针旋转90°至CD$,连接$BD$,则$BD$的最小值为____。
答案：
答案 $\frac{3}{5}$
解析 如图，在AC上截取CF=CB=3，连接EF，BF，由旋转的性质可得CE=CD，∠ECD=90°，∴∠DCB=∠ECF=90°−∠BCE，∴△ECF≌△DCB(SAS)，∴EF=DB，由垂线段最短可知，当FE⊥AB时，EF有最小值，即BD有最小值，此时，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×3×3+\frac{1}{2}×5×EF$，∴EF=$\frac{3}{5}$，∴BD的最小值为$\frac{3}{5}$。
答案 $\frac{3}{5}$
解析 如图，在AC上截取CF=CB=3，连接EF，BF，由旋转的性质可得CE=CD，∠ECD=90°，∴∠DCB=∠ECF=90°−∠BCE，∴△ECF≌△DCB(SAS)，∴EF=DB，由垂线段最短可知，当FE⊥AB时，EF有最小值，即BD有最小值，此时，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×3×3+\frac{1}{2}×5×EF$，∴EF=$\frac{3}{5}$，∴BD的最小值为$\frac{3}{5}$。
3.新考向实践探究题【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1,已知等边$△ABC$,$D是△ABC$外一点,连接$AD$、$CD$、$BD$,若$∠ADC= 30°$,$AD= 3$,$BD= 5$,求$CD$的长。该小组在研究图2中$△OMN≌△OPQ$时得到启示,于是作出图3,从而获得了以下的解题思路,请你帮忙完善解题过程。
解：如图3所示,以$DC为边作等边△CDE$,连接$AE$。
∵$△ABC和△DCE$都是等边三角形,
∴$BC= AC$,$DC= EC$,$∠BCA= ∠DCE= 60°$。
∴$∠BCA+∠ACD= $____$+∠ACD$,
∴$∠BCD= ∠ACE$,
∴____,∴$AE= BD= 5$。
∵$∠ADC= 30°$,$∠CDE= 60°$,
∴$∠ADE= ∠ADC+∠CDE= 90°$。
∵$AD= 3$,∴$Rt△ADE$中,$DE= \sqrt{AE^{2}-AD^{2}}= 4$,
∴$CD= DE= $____。
【尝试应用】如图4,在$△ABC$中,$∠ABC= 45°$,$AB= \sqrt{2}$,$BC= 4$,以$AC$为直角边,$A为直角顶点作等腰直角△ACD$,连接$BD$,求$BD$的长。
【拓展创新】如图5,在$△ABC$中,$AB= 4$,$AC= 8$,以$BC为边向外作等腰△BCD$,$BD= CD$,$∠BDC= 120°$,连接$AD$,求$AD$的最大值。
解：如图3所示,以$DC为边作等边△CDE$,连接$AE$。
∵$△ABC和△DCE$都是等边三角形,
∴$BC= AC$,$DC= EC$,$∠BCA= ∠DCE= 60°$。
∴$∠BCA+∠ACD= $____$+∠ACD$,
∴$∠BCD= ∠ACE$,
∴____,∴$AE= BD= 5$。
∵$∠ADC= 30°$,$∠CDE= 60°$,
∴$∠ADE= ∠ADC+∠CDE= 90°$。
∵$AD= 3$,∴$Rt△ADE$中,$DE= \sqrt{AE^{2}-AD^{2}}= 4$,
∴$CD= DE= $____。
【尝试应用】如图4,在$△ABC$中,$∠ABC= 45°$,$AB= \sqrt{2}$,$BC= 4$,以$AC$为直角边,$A为直角顶点作等腰直角△ACD$,连接$BD$,求$BD$的长。
【拓展创新】如图5,在$△ABC$中,$AB= 4$,$AC= 8$,以$BC为边向外作等腰△BCD$,$BD= CD$,$∠BDC= 120°$,连接$AD$,求$AD$的最大值。
答案：
解析 [问题背景]∠DCE；△BCD≌△ACE；4。
[尝试应用]如图，以点A为旋转中心，将△ABD绕点A顺时针旋转90°，得到△AEC，连接BE，由旋转的性质可得AB=AE，∠BAE=∠DAC=90°，∴∠EBA=45°，∵∠ABC=45°，∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°，在Rt△ABE中，∵AB=AE=$\sqrt{2}$，∴BE=$\sqrt{AB^{2}+AE^{2}}$=2，在Rt△BEC中，∵BC=4，∴EC=$\sqrt{EB^{2}+BC^{2}}$=2$\sqrt{5}$，∴由旋转的性质可得BD=EC=2$\sqrt{5}$。
[拓展创新]如图，以点D为旋转中心，将△ACD绕点D顺时针旋转120°，得到△BDF，连接AF，由旋转的性质可得AD=DF，∠ADF=120°，AC=BF，∴∠DAF=∠DFA=30°，过点D作DE⊥AF，∴DE=$\frac{1}{2}$AD，AE=$\frac{1}{2}$AF，在Rt△ADE中，AD=$\sqrt{DE^{2}+AE^{2}}=\sqrt{(\frac{1}{2}AD)^{2}+(\frac{1}{2}AF)^{2}}$，化简得AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AF，∴当AF取得最大值时，AD取得最大值，当A、B、F三点共线时，AF最大，∵AB=4，AC=8，∴AF的最大值为AB+BF=AB+AC=12，∴AD的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$×12=4$\sqrt{3}$。
解析 [问题背景]∠DCE；△BCD≌△ACE；4。
[尝试应用]如图，以点A为旋转中心，将△ABD绕点A顺时针旋转90°，得到△AEC，连接BE，由旋转的性质可得AB=AE，∠BAE=∠DAC=90°，∴∠EBA=45°，∵∠ABC=45°，∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°，在Rt△ABE中，∵AB=AE=$\sqrt{2}$，∴BE=$\sqrt{AB^{2}+AE^{2}}$=2，在Rt△BEC中，∵BC=4，∴EC=$\sqrt{EB^{2}+BC^{2}}$=2$\sqrt{5}$，∴由旋转的性质可得BD=EC=2$\sqrt{5}$。
[拓展创新]如图，以点D为旋转中心，将△ACD绕点D顺时针旋转120°，得到△BDF，连接AF，由旋转的性质可得AD=DF，∠ADF=120°，AC=BF，∴∠DAF=∠DFA=30°，过点D作DE⊥AF，∴DE=$\frac{1}{2}$AD，AE=$\frac{1}{2}$AF，在Rt△ADE中，AD=$\sqrt{DE^{2}+AE^{2}}=\sqrt{(\frac{1}{2}AD)^{2}+(\frac{1}{2}AF)^{2}}$，化简得AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AF，∴当AF取得最大值时，AD取得最大值，当A、B、F三点共线时，AF最大，∵AB=4，AC=8，∴AF的最大值为AB+BF=AB+AC=12，∴AD的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$×12=4$\sqrt{3}$。