1.「2025 四川自贡启明教育集团月考」一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 2 x + 3 = 0 $ 的根的情况为(
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判断
C
)A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判断
答案：C 根据题意，得$\Delta = ( - 2 ) ^ { 2 } - 4 \times 1 \times 3 ＜ 0$，$\therefore$方程没有实数根.故选 C.
2.「2024 上海中考」以下一元二次方程有两个相等实数根的是(
A. $ x ^ { 2 } - 6 x = 0 $
B. $ x ^ { 2 } - 9 = 0 $
C. $ x ^ { 2 } - 6 x + 6 = 0 $
D. $ x ^ { 2 } - 6 x + 9 = 0 $
D
)A. $ x ^ { 2 } - 6 x = 0 $
B. $ x ^ { 2 } - 9 = 0 $
C. $ x ^ { 2 } - 6 x + 6 = 0 $
D. $ x ^ { 2 } - 6 x + 9 = 0 $
答案：D A.由$x ^ { 2 } - 6 x = 0$知$\Delta = 36 ＞ 0$，$\therefore$该方程有两个不等实数根；B.由$x ^ { 2 } - 9 = 0$知$\Delta = 36 ＞ 0$，$\therefore$该方程有两个不等实数根；C.由$x ^ { 2 } - 6 x + 6 = 0$知$\Delta = 12 ＞ 0$，$\therefore$该方程有两个不等实数根；D.由$x ^ { 2 } - 6 x + 9 = 0$知$\Delta = 0$，$\therefore$该方程有两个相等实数根.故选 D.
3.「2024 江苏淮安中考」若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 4 x + k = 0 $ 有两个不相等的实数根,则 $ k $ 的取值范围是(
A. $ k \geq 4 $
B. $ k ＞ 4 $
C. $ k \leq 4 $
D. $ k ＜ 4 $
D
)A. $ k \geq 4 $
B. $ k ＞ 4 $
C. $ k \leq 4 $
D. $ k ＜ 4 $
答案：D $\because$关于$x$的一元二次方程$x ^ { 2 } - 4 x + k = 0$有两个不相等的实数根，$\therefore \Delta ＞ 0$，$\therefore ( - 4 ) ^ { 2 } - 4 \times 1 \times k ＞ 0$，即$16 - 4 k ＞ 0$，$\therefore k ＜ 4$.故选 D.
4. 若关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - m x + m = 0 $ 有两个相等的实数根,则代数式 $ 3 m ^ { 2 } - 12 m + 7 $ 的值为____
7
.答案：答案 7
解析 $\because$关于$x$的方程$x ^ { 2 } - m x + m = 0$有两个相等的实数根，$\therefore \Delta = ( - m ) ^ { 2 } - 4 m = m ^ { 2 } - 4 m = 0$，$\therefore 3 m ^ { 2 } - 12 m + 7 = 3 ( m ^ { 2 } - 4 m ) + 7 = 0 + 7 = 7$.
解析 $\because$关于$x$的方程$x ^ { 2 } - m x + m = 0$有两个相等的实数根，$\therefore \Delta = ( - m ) ^ { 2 } - 4 m = m ^ { 2 } - 4 m = 0$，$\therefore 3 m ^ { 2 } - 12 m + 7 = 3 ( m ^ { 2 } - 4 m ) + 7 = 0 + 7 = 7$.
5.「2025 福建福州长乐期中」下列一元二次方程中,根是 $ x = \frac { - 2 \pm \sqrt { 2 ^ { 2 } - 4 × 3 × ( - 1 ) } } { 2 × 3 } $ 的方程是(
A. $ 3 x ^ { 2 } + 2 x - 1 = 0 $
B. $ 3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0 $
C. $ 3 x ^ { 2 } + 4 x - 1 = 0 $
D. $ - x ^ { 2 } - 2 x + 3 = 0 $
A
)A. $ 3 x ^ { 2 } + 2 x - 1 = 0 $
B. $ 3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0 $
C. $ 3 x ^ { 2 } + 4 x - 1 = 0 $
D. $ - x ^ { 2 } - 2 x + 3 = 0 $
答案：A 由$x = \frac { - 2 \pm \sqrt { 2 ^ { 2 } - 4 \times 3 \times ( - 1 ) } } { 2 \times 3 }$知$a = 3$，$b = 2$，$c = - 1$，所以该一元二次方程为$3 x ^ { 2 } + 2 x - 1 = 0$.故选 A.
6. 用公式法解方程 $ ( x + 1 ) ( x - 2 ) = 1 $,化为一般形式为
$x ^ { 2 } - x - 3 = 0$
,其中 $ b ^ { 2 } - 4 a c = $13
,方程的解为$x _ { 1 } = \frac { 1 + \sqrt { 13 } } { 2 }$，$x _ { 2 } = \frac { 1 - \sqrt { 13 } } { 2 }$
.答案：答案 $x ^ { 2 } - x - 3 = 0$；13；$x _ { 1 } = \frac { 1 + \sqrt { 13 } } { 2 }$，$x _ { 2 } = \frac { 1 - \sqrt { 13 } } { 2 }$
解析 原方程整理可得$x ^ { 2 } - x - 3 = 0$，$\because a = 1$，$b = - 1$，$c = - 3$，$\therefore \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 1 ) ^ { 2 } - 4 \times 1 \times ( - 3 ) = 13 ＞ 0$，$\therefore x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { 1 \pm \sqrt { 13 } } { 2 }$，$\therefore x _ { 1 } = \frac { 1 + \sqrt { 13 } } { 2 }$，$x _ { 2 } = \frac { 1 - \sqrt { 13 } } { 2 }$.
解析 原方程整理可得$x ^ { 2 } - x - 3 = 0$，$\because a = 1$，$b = - 1$，$c = - 3$，$\therefore \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 1 ) ^ { 2 } - 4 \times 1 \times ( - 3 ) = 13 ＞ 0$，$\therefore x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { 1 \pm \sqrt { 13 } } { 2 }$，$\therefore x _ { 1 } = \frac { 1 + \sqrt { 13 } } { 2 }$，$x _ { 2 } = \frac { 1 - \sqrt { 13 } } { 2 }$.
7. 解方程 $ x ^ { 2 } = 3 x + 2 $ 时,有一位同学解答如下:
$ \because a = 1 , b = 3 , c = 2 , \therefore b ^ { 2 } - 4 a c = 3 ^ { 2 } - 4 × 1 × 2 = 1 $,
$ \therefore x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { - 3 \pm 1 } { 2 } $,
$ \therefore x _ { 1 } = - 1 , x _ { 2 } = - 2 $.
请你分析该同学的解答有无错误,若有错误,请指出错误的地方,并写出正确的解题过程.
$ \because a = 1 , b = 3 , c = 2 , \therefore b ^ { 2 } - 4 a c = 3 ^ { 2 } - 4 × 1 × 2 = 1 $,
$ \therefore x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { - 3 \pm 1 } { 2 } $,
$ \therefore x _ { 1 } = - 1 , x _ { 2 } = - 2 $.
请你分析该同学的解答有无错误,若有错误,请指出错误的地方,并写出正确的解题过程.
解析 有错误.
错误之处：没有先把方程化成一般形式.
正确解法：方程变形为$x ^ { 2 } - 3 x - 2 = 0$，$\because a = 1$，$b = - 3$，$c = - 2$，$\therefore b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 3 ) ^ { 2 } - 4 × 1 × ( - 2 ) = 17 ＞ 0$，$\therefore x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { 3 \pm \sqrt { 17 } } { 2 }$，$\therefore x _ { 1 } = \frac { 3 + \sqrt { 17 } } { 2 }$，$x _ { 2 } = \frac { 3 - \sqrt { 17 } } { 2 }$.
错误之处：没有先把方程化成一般形式.
正确解法：方程变形为$x ^ { 2 } - 3 x - 2 = 0$，$\because a = 1$，$b = - 3$，$c = - 2$，$\therefore b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 3 ) ^ { 2 } - 4 × 1 × ( - 2 ) = 17 ＞ 0$，$\therefore x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { 3 \pm \sqrt { 17 } } { 2 }$，$\therefore x _ { 1 } = \frac { 3 + \sqrt { 17 } } { 2 }$，$x _ { 2 } = \frac { 3 - \sqrt { 17 } } { 2 }$.
答案：解析 有错误.
错误之处：没有先把方程化成一般形式.
正确解法：方程变形为$x ^ { 2 } - 3 x - 2 = 0$，$\because a = 1$，$b = - 3$，$c = - 2$，$\therefore b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 3 ) ^ { 2 } - 4 \times 1 \times ( - 2 ) = 17 ＞ 0$，$\therefore x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { 3 \pm \sqrt { 17 } } { 2 }$，$\therefore x _ { 1 } = \frac { 3 + \sqrt { 17 } } { 2 }$，$x _ { 2 } = \frac { 3 - \sqrt { 17 } } { 2 }$.
错误之处：没有先把方程化成一般形式.
正确解法：方程变形为$x ^ { 2 } - 3 x - 2 = 0$，$\because a = 1$，$b = - 3$，$c = - 2$，$\therefore b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 3 ) ^ { 2 } - 4 \times 1 \times ( - 2 ) = 17 ＞ 0$，$\therefore x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { 3 \pm \sqrt { 17 } } { 2 }$，$\therefore x _ { 1 } = \frac { 3 + \sqrt { 17 } } { 2 }$，$x _ { 2 } = \frac { 3 - \sqrt { 17 } } { 2 }$.
8.「2025 河南洛阳伊川期中」已知一元二次方程 $ x ^ { 2 } + b x + c = 0 $. 在下面的三组条件中选择其中一组 $ b , c $ 的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.
条件一: $ b = - 2 , c = 1 $;
条件二: $ b = - 3 , c = 1 $;
条件三: $ b = 2 , c = 2 $.
选择条件
条件一: $ b = - 2 , c = 1 $;
条件二: $ b = - 3 , c = 1 $;
条件三: $ b = 2 , c = 2 $.
选择条件
二
，方程的解为$x _ { 1 } = \frac { 3 + \sqrt { 5 } } { 2 }$，$x _ { 2 } = \frac { 3 - \sqrt { 5 } } { 2 }$
答案：解析 $\because$一元二次方程$x ^ { 2 } + b x + c = 0$有两个不相等的实数根，$\therefore b ^ { 2 } - 4 c ＞ 0$，即$b ^ { 2 } ＞ 4 c$.
显然三组条件中只有条件二符合要求，故选择条件二.
$\therefore$这个方程为$x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$，$\therefore \Delta = ( - 3 ) ^ { 2 } - 4 \times 1 \times 1 = 5$，$\therefore x = \frac { 3 \pm \sqrt { 5 } } { 2 }$，$\therefore x _ { 1 } = \frac { 3 + \sqrt { 5 } } { 2 }$，$x _ { 2 } = \frac { 3 - \sqrt { 5 } } { 2 }$.
显然三组条件中只有条件二符合要求，故选择条件二.
$\therefore$这个方程为$x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$，$\therefore \Delta = ( - 3 ) ^ { 2 } - 4 \times 1 \times 1 = 5$，$\therefore x = \frac { 3 \pm \sqrt { 5 } } { 2 }$，$\therefore x _ { 1 } = \frac { 3 + \sqrt { 5 } } { 2 }$，$x _ { 2 } = \frac { 3 - \sqrt { 5 } } { 2 }$.
9. 用公式法解方程:
(1) $ x ^ { 2 } - 7 x - 18 = 0 $.
(2) $ 2 x ^ { 2 } - 7 x + 7 = 0 $.
(3) $ 4 x ^ { 2 } + 4 x - 1 = - 10 - 8 x $.
(4) $ 2 x ( x + 3 ) = x ^ { 2 } + 2 $.
(1) $ x ^ { 2 } - 7 x - 18 = 0 $.
$x _ { 1 } = 9$，$x _ { 2 } = - 2$
(2) $ 2 x ^ { 2 } - 7 x + 7 = 0 $.
方程没有实数根
(3) $ 4 x ^ { 2 } + 4 x - 1 = - 10 - 8 x $.
$x _ { 1 } = x _ { 2 } = - \frac { 3 } { 2 }$
(4) $ 2 x ( x + 3 ) = x ^ { 2 } + 2 $.
$x _ { 1 } = - 3 + \sqrt { 11 }$，$x _ { 2 } = - 3 - \sqrt { 11 }$
答案：解析 (1)$\because a = 1$，$b = - 7$，$c = - 18$，$\therefore \Delta = ( - 7 ) ^ { 2 } - 4 \times 1 \times ( - 18 ) = 121 ＞ 0$，$\therefore x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { - ( - 7 ) \pm \sqrt { 121 } } { 2 \times 1 } = \frac { 7 \pm 11 } { 2 }$，即$x _ { 1 } = 9$，$x _ { 2 } = - 2$.
(2)$\because a = 2$，$b = - 7$，$c = 7$，$\therefore \Delta = ( - 7 ) ^ { 2 } - 4 \times 2 \times 7 = - 7 ＜ 0$，$\therefore$方程没有实数根.
(3)方程整理得$4 x ^ { 2 } + 12 x + 9 = 0$，$\therefore a = 4$，$b = 12$，$c = 9$，$\therefore \Delta = 12 ^ { 2 } - 4 \times 4 \times 9 = 0$，$\therefore x _ { 1 } = x _ { 2 } = - \frac { b } { 2 a } = - \frac { 12 } { 2 \times 4 } = - \frac { 3 } { 2 }$.
(4)方程整理得$x ^ { 2 } + 6 x - 2 = 0$，$\therefore a = 1$，$b = 6$，$c = - 2$，$\therefore b ^ { 2 } - 4 a c = 6 ^ { 2 } + 4 \times 1 \times 2 = 44 ＞ 0$，$\therefore x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { - 6 \pm \sqrt { 44 } } { 2 } = - 3 \pm \sqrt { 11 }$.$\therefore x _ { 1 } = - 3 + \sqrt { 11 }$，$x _ { 2 } = - 3 - \sqrt { 11 }$.
(2)$\because a = 2$，$b = - 7$，$c = 7$，$\therefore \Delta = ( - 7 ) ^ { 2 } - 4 \times 2 \times 7 = - 7 ＜ 0$，$\therefore$方程没有实数根.
(3)方程整理得$4 x ^ { 2 } + 12 x + 9 = 0$，$\therefore a = 4$，$b = 12$，$c = 9$，$\therefore \Delta = 12 ^ { 2 } - 4 \times 4 \times 9 = 0$，$\therefore x _ { 1 } = x _ { 2 } = - \frac { b } { 2 a } = - \frac { 12 } { 2 \times 4 } = - \frac { 3 } { 2 }$.
(4)方程整理得$x ^ { 2 } + 6 x - 2 = 0$，$\therefore a = 1$，$b = 6$，$c = - 2$，$\therefore b ^ { 2 } - 4 a c = 6 ^ { 2 } + 4 \times 1 \times 2 = 44 ＞ 0$，$\therefore x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { - 6 \pm \sqrt { 44 } } { 2 } = - 3 \pm \sqrt { 11 }$.$\therefore x _ { 1 } = - 3 + \sqrt { 11 }$，$x _ { 2 } = - 3 - \sqrt { 11 }$.