10.「2024 山东潍坊中考,」已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - m x - n ^ { 2 } + m n + 1 = 0 $,其中 $ m , n $ 满足 $ m - 2 n = 3 $,关于该方程根的情况,下列判断正确的是(
A. 无实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法确定
C
)A. 无实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法确定
答案：C $\because m - 2 n = 3$，$\therefore \Delta = ( - m ) ^ { 2 } - 4 ( - n ^ { 2 } + m n + 1 ) = m ^ { 2 } + 4 n ^ { 2 } - 4 m n - 4 = ( m - 2 n ) ^ { 2 } - 4 = 3 ^ { 2 } - 4 = 9 - 4 = 5 ＞ 0$，$\therefore$一元二次方程$x ^ { 2 } - m x - n ^ { 2 } + m n + 1 = 0$有两个不相等的实数根.故选 C.
11.「2025 上海徐汇期中,」如果关于 $ x $ 的方程 $ k ^ { 2 } x ^ { 2 } - ( 2 k + 1 ) x + 1 = 0 $ 有实数根,那么 $ k $ 的取值范围是(
A. $ k \geq - \frac { 1 } { 4 } $
B. $ k ＞ - \frac { 1 } { 4 } $ 且 $ k \neq 0 $
C. $ k ＜ - \frac { 1 } { 4 } $
D. $ k \geq - \frac { 1 } { 4 } $ 且 $ k \neq 0 $
$k \geq - \frac { 1 } { 4 }$
)A. $ k \geq - \frac { 1 } { 4 } $
B. $ k ＞ - \frac { 1 } { 4 } $ 且 $ k \neq 0 $
C. $ k ＜ - \frac { 1 } { 4 } $
D. $ k \geq - \frac { 1 } { 4 } $ 且 $ k \neq 0 $
答案：A ①当$k = 0$时，方程为$- x + 1 = 0$，该方程是一元一次方程，有实数根；②当$k \neq 0$时，$\Delta = [ - ( 2 k + 1 ) ] ^ { 2 } - 4 k ^ { 2 } \geq 0$，整理得$4 k + 1 \geq 0$，解得$k \geq - \frac { 1 } { 4 }$，故$k$的取值范围是$k \geq - \frac { 1 } { 4 }$且$k \neq 0$.综合①②可得，$k$的取值范围是$k \geq - \frac { 1 } { 4 }$.
12.「2025 辽宁营口期中,」若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ( k - 1 ) x ^ { 2 } - 2 k x + k - 3 = 0 $ 有实数根,则满足条件的 $ k $ 的最小整数值为
2
.答案：答案 2
解析 $\because$关于$x$的一元二次方程$( k - 1 ) x ^ { 2 } - 2 k x + k - 3 = 0$有实数根，$\therefore \left\{ \begin{array} { l } { k - 1 \neq 0, } \\ { \Delta = ( - 2 k ) ^ { 2 } - 4 ( k - 1 ) ( k - 3 ) \geq 0, } \end{array} \right.$解得$k \geq \frac { 3 } { 4 }$且$k \neq 1$，$\therefore$满足条件的$k$的最小整数值为 2.
解析 $\because$关于$x$的一元二次方程$( k - 1 ) x ^ { 2 } - 2 k x + k - 3 = 0$有实数根，$\therefore \left\{ \begin{array} { l } { k - 1 \neq 0, } \\ { \Delta = ( - 2 k ) ^ { 2 } - 4 ( k - 1 ) ( k - 3 ) \geq 0, } \end{array} \right.$解得$k \geq \frac { 3 } { 4 }$且$k \neq 1$，$\therefore$满足条件的$k$的最小整数值为 2.
13.「2025 山西晋中左权月考,」若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } + 4 x + 2 k = 0 $ 有两个不相等的实数根.
(1) 求 $ k $ 的取值范围.
(2) 当 $ k $ 取满足条件的最大整数时,求方程的根.
(1) 求 $ k $ 的取值范围.
(2) 当 $ k $ 取满足条件的最大整数时,求方程的根.
答案：解析 (1)根据题意，得$\Delta = 4 ^ { 2 } - 4 \times 1 \times 2 k ＞ 0$，$\therefore 16 - 8 k ＞ 0$，$\therefore k ＜ 2$.
(2)$\because k ＜ 2$，$\therefore$满足条件的最大整数$k$的值为 1，$\therefore$方程为$x ^ { 2 } + 4 x + 2 = 0$，$\therefore a = 1$，$b = 4$，$c = 2$，$\therefore \Delta = 4 ^ { 2 } - 4 \times 1 \times 2 = 8 ＞ 0$，$\therefore x = \frac { - 4 \pm \sqrt { 8 } } { 2 }$，$\therefore x _ { 1 } = - 2 + \sqrt { 2 }$，$x _ { 2 } = - 2 - \sqrt { 2 }$.
(2)$\because k ＜ 2$，$\therefore$满足条件的最大整数$k$的值为 1，$\therefore$方程为$x ^ { 2 } + 4 x + 2 = 0$，$\therefore a = 1$，$b = 4$，$c = 2$，$\therefore \Delta = 4 ^ { 2 } - 4 \times 1 \times 2 = 8 ＞ 0$，$\therefore x = \frac { - 4 \pm \sqrt { 8 } } { 2 }$，$\therefore x _ { 1 } = - 2 + \sqrt { 2 }$，$x _ { 2 } = - 2 - \sqrt { 2 }$.
14.「2025 江苏泰州靖江期中,」已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ( n + 2 ) x ^ { 2 } - 4 n x + 4 ( n - 2 ) = 0 ( n \neq - 2 ) $.
(1) 求证:该方程一定有两个不相等的实数根.
(2) 小明说:“该方程总有一个固定的实数根.”请你判断小明的说法是否正确. 若正确,请求出该实数根;若不正确,请说明理由.
(1) 求证:该方程一定有两个不相等的实数根.
(2) 小明说:“该方程总有一个固定的实数根.”请你判断小明的说法是否正确. 若正确,请求出该实数根;若不正确,请说明理由.
答案：解析 (1)证明：$\because \Delta = ( - 4 n ) ^ { 2 } - 4 \times 4 ( n - 2 ) ( n + 2 ) = 16 n ^ { 2 } - 16 n ^ { 2 } + 64 = 64 ＞ 0$，$\therefore$关于$x$的一元二次方程$( n + 2 ) x ^ { 2 } - 4 n x + 4 ( n - 2 ) = 0$（$n \neq - 2$）一定有两个不相等的实数根.
(2)小明的说法是正确的.
由求根公式得$x = \frac { 4 n \pm \sqrt { 64 } } { 2 ( n + 2 ) } = \frac { 4 n \pm 8 } { 2 ( n + 2 ) }$，$\therefore x _ { 1 } = 2$，$x _ { 2 } = \frac { 2 n - 4 } { n + 2 }$，$\therefore$该方程总有一个固定的实数根，$\therefore$小明的说法是正确的.
(2)小明的说法是正确的.
由求根公式得$x = \frac { 4 n \pm \sqrt { 64 } } { 2 ( n + 2 ) } = \frac { 4 n \pm 8 } { 2 ( n + 2 ) }$，$\therefore x _ { 1 } = 2$，$x _ { 2 } = \frac { 2 n - 4 } { n + 2 }$，$\therefore$该方程总有一个固定的实数根，$\therefore$小明的说法是正确的.
15. 已知关于 $ x $ 的方程 $ a ( x - m ) x = x - m $ 有两个相等的实数根,若 $ M = a ^ { 2 } - 2 a m , N = 4 a m - \frac { 1 } { m ^ { 2 } } $,则 $ M $ 与 $ N $ 的关系正确的是(
A. $ M + N = 2 $
B. $ M + N = - 2 $
C. $ 2 M + N = 0 $
D. $ M + N = 0 $
A
)A. $ M + N = 2 $
B. $ M + N = - 2 $
C. $ 2 M + N = 0 $
D. $ M + N = 0 $
答案：A 方程化为一般形式为$a x ^ { 2 } - ( a m + 1 ) x + m = 0$，根据题意，得$\Delta = [ - ( a m + 1 ) ] ^ { 2 } - 4 a m = 0$，$\therefore ( a m - 1 ) ^ { 2 } = 0$，$\therefore a m - 1 = 0$，$\because a \neq 0$，$\therefore m = \frac { 1 } { a }$，$\therefore M = a ^ { 2 } - 2 a \cdot \frac { 1 } { a } = a ^ { 2 } - 2$，$N = 4 a \cdot \frac { 1 } { a } - \frac { 1 } { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } = 4 - a ^ { 2 }$，$\therefore M + N = 2$.故选 A.
16. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - ( k + 2 ) x + k - 1 = 0 $.
(1) 求证:无论 $ k $ 取何值,此方程总有两个不相等的实数根.
(2) 已知 5 是关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - ( k + 2 ) x + k - 1 = 0 $ 的一个根,且这个方程的两个根恰好是等腰 $ \triangle A B C $ 的两条边长,求 $ \triangle A B C $ 的周长.
(1) 求证:无论 $ k $ 取何值,此方程总有两个不相等的实数根.
(2) 已知 5 是关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - ( k + 2 ) x + k - 1 = 0 $ 的一个根,且这个方程的两个根恰好是等腰 $ \triangle A B C $ 的两条边长,求 $ \triangle A B C $ 的周长.
$\frac{21}{2}$
答案：解析 (1)证明：$\because a = 1$，$b = - ( k + 2 )$，$c = k - 1$，$\therefore \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = [ - ( k + 2 ) ] ^ { 2 } - 4 \times 1 \times ( k - 1 ) = k ^ { 2 } + 8 ＞ 0$，$\therefore$无论$k$取何值，该方程总有两个不相等的实数根.
(2)把$x = 5$代入方程$x ^ { 2 } - ( k + 2 ) x + k - 1 = 0$，得$25 - 5 k - 10 + k - 1 = 0$，解得$k = \frac { 7 } { 2 }$，$\therefore$方程为$x ^ { 2 } - \frac { 11 } { 2 } x + \frac { 5 } { 2 } = 0$，解得$x _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 }$，$x _ { 2 } = 5$.方程的两个根恰好是等腰$\triangle ABC$的两条边长，当腰长为$\frac { 1 } { 2 }$时，$\because \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ＜ 5$，$\therefore$不能组成三角形，不合题意.当腰长为 5 时，$\because \frac { 1 } { 2 } + 5 ＞ 5$，$\therefore$能组成三角形.$\therefore$这个等腰三角形的三边长分别为$\frac { 1 } { 2 }$、5、5，$\because \frac { 1 } { 2 } + 5 + 5 = \frac { 21 } { 2 }$，$\therefore \triangle ABC$的周长为$\frac { 21 } { 2 }$.
(2)把$x = 5$代入方程$x ^ { 2 } - ( k + 2 ) x + k - 1 = 0$，得$25 - 5 k - 10 + k - 1 = 0$，解得$k = \frac { 7 } { 2 }$，$\therefore$方程为$x ^ { 2 } - \frac { 11 } { 2 } x + \frac { 5 } { 2 } = 0$，解得$x _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 }$，$x _ { 2 } = 5$.方程的两个根恰好是等腰$\triangle ABC$的两条边长，当腰长为$\frac { 1 } { 2 }$时，$\because \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ＜ 5$，$\therefore$不能组成三角形，不合题意.当腰长为 5 时，$\because \frac { 1 } { 2 } + 5 ＞ 5$，$\therefore$能组成三角形.$\therefore$这个等腰三角形的三边长分别为$\frac { 1 } { 2 }$、5、5，$\because \frac { 1 } { 2 } + 5 + 5 = \frac { 21 } { 2 }$，$\therefore \triangle ABC$的周长为$\frac { 21 } { 2 }$.